Weilförmodandena

Från testwiki
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är Weilförmodandena några väldigt inflytelserika förmodanden framlagda av Mall:Harvs om lokala zetafunktioner, genererande funktionerna av antalet punkter på en algebraisk varietet över en ändlig kropp.

Weil förmodade att dessa zetafunktioner är rationella funktioner, satisfierar en viss slags funktionalekvation och har vissa restriktioner gällande sina nollställen. De två sista delarna är analoga till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion och den obevisade Riemannhypotesen. Rationaliteten bevisades av Mall:Harvtxt, funktionalekvationen av Mall:Harvtxt och analogin av Riemannhypotesen av Mall:Harvtxt.

Förmodandena

Låt X vara en icke-singulär n-dimensionell projektiv algebraisk varietet över kroppen Fq med q element. Zetafunktionen ζ(X, s) av X definieras som

ζ(X,s)=exp⁡(∑m=1∞Nmm(q−s)m)

där Nm är antalet punkter av X definierade över utvidgningen Fqm av grad m av Fq.

Weilförmodandena lyder:

  1. (Rationalitet) ζ(X, s) är en rationell funktion av Mall:Nowrap beginT = q−sMall:Nowrap end. Mer precist kan ζ(X, s) skrivas som en ändlig alternerande produkt
    ∏i=02nPi(q−s)(−1)i+1=P1(T)⋯P2n−1(T)P0(T)⋯P2n(T),
    där varje Pi(T) är ett heltalspolynom. Vidare är Mall:Nowrap beginP0(T) = 1 − TMall:Nowrap end, Mall:Nowrap beginP2n(T) = 1 − qnTMall:Nowrap end, och för Mall:Nowrap kan Pi(T) faktoriseras över C som ∏j(1−αijT) för några tal αij.
  2. (Funktionalekvation och Poincarédualitet) Zetafunktionen satisfierar
    ζ(X,n−s)=±qnE2−Esζ(X,s)
    eller ekvivalent
    ζ(X,q−nT−1)=±qnE2TEζ(X,T)
    där E är Eulerkarakteristiken av X. Speciellt är för alla i talen α2n-i,1, α2n-i,2, … en permutation av qn/αi,1, qn/αi,2, ….
  3. (Riemannhypotesen) |αi,j| = qi/2 för alla Mall:Nowrap och alla j. Ur detta följer att alla nollställen av Pk(T) ligger på den "kritiska linjen" av komplexa tal s med reell del k/2.
  4. (Bettital) Om X är en (god) "reduktion mod p" av en icke-singulär projektiv varietet Y definierad över en talkropp inbäddad i kroppen av komplexa tal, då är graden av Pi det ith Bettitalet av rummet av komplexa punkter av Y.

Användningar

Källor

Mall:Enwp

Mall:L-funktioner

Hämtad från ”https://sv.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Weilförmodandena&oldid=3559”