Weierstrass majorantsats

Weierstrass majorantsats är inom matematiken en sats uppkallad efter Karl Weierstrass. Satsen används för att avgöra om en funktionsserie konvergerar likformigt.

Antag att $(f_n)$ är en följd av reella eller komplexa funktioner definierade på en mängd A. Om det finns en talföljd $(M_n)$ så att:

$|f_n(x)|\le M_n$

för alla x i A och $n\ge 1$.

Om talserien $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ konvergerar så följer det att funktionsserien $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ konvergerar likformigt på A.

Bevis

Eftersom $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ konvergerar så konvergerar även $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ punktvis för alla x till någon funktion f(x) (enligt jämförelsetestet).

Serien konvergerar likformigt till f om:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f(x)-\sum _{n=1}^k{f}_n(x)\Vert =0$

Där $\Vert \cdot \Vert$ betecknar supremumnormen. Man får då att:

$\Vert f(x)-\sum _{n=1}^k{f}_n(x)\Vert =\Vert \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)-\sum _{n=1}^k{f}_n(x)\Vert =$

$=\Vert \sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\Vert \le \sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}\Vert f_n(x)\Vert \le \sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n\to 0$ då $k\to \mathrm{\infty }$

vilket visar den likformiga konvergensen.

Källor

Funktionsföljder och serier, Lennart Hellström, Februari 2002