Vandermondematris

En Vandermondematris är inom linjär algebra en matris vars rader beskriver geometriska följder, uppkallad efter den franske matematikern Alexandre-Théophile Vandermonde.

Om $V$ är en Vandermondematris av format $m\times n$ är alltså elementen $v_{ij}=a_i^{j-1}$ för tal $a_i$, så att matrisen blir:

$V=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& \cdots & a_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_m& a_m^2& \cdots & a_m^{n-1}\end{array}\right)$

Egenskaper

För kvadratiska ($m=n$) Vandermondematriser är determinanten

$\det V=\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$.

En Vandermondematris där $m\le n$ har maximal rang om och endast om alla $a_i$ är distinkta.

Tillämpningar

Vandermondematriser betraktas vid polynominterpolation, Mall:Ej stavfel lösa systemet $Vu=y$, där $V$ är en Vandermondematris, är ekvivalent med att hitta koefficienterna $u_k$ i polynomet

$P(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{u}_k{x}^k$

av grad $\le n-1$ som har värdena $y_k$ vid $a_k$.