Unitär delare

Inom matematiken är ett naturligt tal a unitär delare av ett tal b om a är en delare av b och om a och $\frac{b}{a}$ är relativt prima. Sålunda är 5 en unitär delare av 60, eftersom 5 och $\frac{60}{5}=12$ endast har 1 som en gemensam faktor, medan 6 är en delare men inte en unitär delare av 60, eftersom 6 och $\frac{60}{6}=10$ har en gemensam faktor utöver 1, nämligen 2. 1 är en unitär delare av alla naturliga tal.

Ekvivalent, en given delare a av b är en unitär delare om och endast om varje primtalsfaktor för a har samma multiplicitet i a som i b.

Summan av den unitära delarfunktionen betecknas med den gemena grekiska bokstaven sigma sålunda: σ*(n). Summan av den k:te potensen av de unitära delarna betecknas med σ*_k(n):

${\sigma }_k^{*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{\gcd (d,n/d)=1}}{d}^k.$

Om de äkta de unitära delarna till ett givet tal adderar fram till detta tal, så är det ett unitärt perfekt tal.

Egenskaper

Antalet unitära delare av ett tal n är 2^k, där k är antalet distinkta primtalsfaktorer av n. Summan av de unitära delarna till n är udda om n är en potens av 2 (inklusive 1), och även annars.

Summan av de unitära delarna till n är en multiplikativ funktion av n, men inte komplett multiplikativ. Dirichlets genererade funktion är

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{*}(n)}{n^s}.$

Udda unitära delare

Summan av de k:te potenserna av udda unitära delare är

${\sigma }_k^{(o)*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1(\mathrm{mod}2)}}{\gcd (d,n/d)=1}}{d}^k.$

Det är också multiplikativt, med Dirichlets genererade funktion

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{(o)*}(n)}{n^s}.$

Biunitär delare

En delare d av n är en biunitär delare om den största gemensamma den unitära delaren d och n/d. Antalet biunitära delare till n är en multiplikativ funktion av n med genomsnittlig ordning $A\log x$ där

$A=\prod _p\left(1-\frac{p-1}{p^2(p+1)}\right).$

Ett biunitärt perfekt tal är 1 lika med summan av dess biunitära alikvota delare. De enda biunitära perfekta talen är 6, 60 och 90.

Referenser

• Mall:Enwp

Tryckta källor

• Mall:Bokref Section B3.
• Mall:Bokref
• Mall:Tidningsref
• Mall:Tidningsref
• Mall:Tidningsref
• Mall:Tidningsref
• Mall:Tidningsref
• Mall:Webbref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Unitary Divisor", MathWorld.

OEIS-talföljder

• Mall:OEIS2C: σ₀(n)
• Mall:OEIS2C: σ₁(n)
• Mall:OEIS2C till Mall:OEIS2C: σ₂(n) till σ₈(n)
• Mall:OEIS2C: σ^(o)*₀(n)
• Mall:OEIS2C: σ^(o)*₁(n)