Union (matematik)

Union av två mängder

Union av tre mängder

Inom matematiken är unionen av två mängder A och B, mängden av de element som tillhör A eller B. Med "eller", menas här inklusivt eller, vilket innebär att unionsmängden består av de element, vilka tillhör minst en av de två mängderna. Unionen av A och B skrivs A ∪ B där ∪ är symbolen för union. Symboliskt definieras unionsmängden av A och B som:

$A\cup B=\{x\mid (x\in A)\vee (x\in B)\}$

Exempelvis gäller således: Mall:Nowrap och Mall:Nowrap, där ∅ är symbolen för tomma mängden.

En union kan omfatta ett godtyckligt antal mängder. Unionen av

$S_1,S_2,S_3,\dots ,S_n$

skrivs ofta som

$S_1\cup S_2\cup S_3\cup \dots \cup S_n$

Exempel

• {A, B, C, D} ∪ {C, D, E} = {A, B, C, D, E}
• {x : x är ett jämnt tal} ∪ {x : x är ett udda tal} = {x : x är ett heltal}
• {x : x är en människa} ∪ {x : x är en svensk medborgare} = {x : x är en människa} (Alla svenska medborgare är människor.)

Unär union

Den ovanstående binära operatorn är dock enbart ett specialfall av den unära unionsoperatorn, som beskrivs av unionsaxiomet i mängdteorin ZFC:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }\cup x:\mathrm{\forall }y(y\in \cup x⟺\mathrm{\exists }z\in x:y\in z)$

Detta ∪ x utläses unionen av x. En vanlig beteckning är

$\bigcup _{z\in x}z:=\cup x$,

som utläses ”unionen av alla z i x”.

Vi ser att den binära unionsoperatorn är ett specialfall, eftersom

$x\cup y=\cup \{x,y\}$

Se även

• Snitt
• Differens
• Mängdteori