Trilliumsatsen

**Figur 1.**
Triangeln $△ A B C$ med omskriven cirkel (brun, medelpunkt i $O$ ), inskriven cirkel (orange, medelpukt i $I$ ) och vidskriven cirkel (violett, medelpunkt i $E_{a}$ ) till sidan $\overline{B C}$ . Cirkeln (blå) genom $B$ , $C$ , $I$ och $E_{a}$ har medelpunkt i $D_{a}$ och radierna till de fyra punkterna på omkretsen är markerade med grönt.

Trilliumsatsen (från engelska Trillium theorem, något etablerat svenskt namn finns ej) och Mansions sats (efter den belgiske matematikern Paul Mansion) är två olika aspekter av en mer allmän plangeometrisk sats (eller lemma) som säger att (beteckningar/färger enligt figur 1):

Skärningspunkten (

D_{a}

) mellan bisektrisen till ett triangelhörn (

A

), mittpunktsnormalen (

\overline{D_{a} M O N_{a}}

) till den mot detta hörn stående sidan (

\overline{B C}

) och den omskrivna cirkeln (brun) till triangeln (

△ A B C

) är medelpunkt i en cirkel (blå) på vilka de båda övriga triangelhörnen (

B

respektive

C

) samt triangelns inskrivna cirkels (orange) och den mot triangelsidan mellan dessa två hörn stående vidskrivna cirkelns (violett) medelpunkter (

I

respektive

E_{a}

) ligger.

Denna cirkels, genom de fyra punkterna, radie har längden:

r_{D_{a}} = 2 R \cdot \sin \frac{∠ B A C}{2} = \frac{| \overline{B C} |}{2 \cdot \cos \frac{∠ B A C}{2}}

där

R

är den omskrivna cirkelns radie.

Mer specifikt säger "trilliumsatsen" att (beteckningar enligt figur 1):

Avståndet från skärningspunkten mellan bisektrisen till en hörnvinkel (

A

) och den omskrivna cirkeln, det vill säga från punkten

D

, till de båda övriga hörnen och till den inskrivna cirkelns medelpunkt är detsamma – det vill säga att

| \overline{D_{a} B} | = | \overline{D_{a} C} | = | \overline{D_{a} I} |

,

medan Mansions sats säger att:

Mittpunkterna på sträckorna mellan den inskrivna cirkelns medelpunkt och de tre vidskrivna cirklarnas medelpunkter ligger på den omskrivna cirkeln till triangeln – det vill säga att

| \overline{D_{a} E_{a}} | = | \overline{D_{a} I} |

.

Namn

Som nämnts i inledningen finns det inget etablerat svenskt namn på satsen, och detta är även fallet på många andra språk – exempelvis engelska. Det mesta som har skrivits inom området har gjorts av ryskspråkiga författare som har använt (beroende på olika aspekter av satsen):^[1]

Лемма о трезубце – "treuddssatsen" eller "treuddslemmat" (трезубц betyder treudd på svenska): $| \overline{D_{a} B} | = | \overline{D_{a} C} | = | \overline{D_{a} I} | = | \overline{D_{a} E_{a}} |$
Лемма о трилистнике - "trilliumsatsen" eller "trilliumlemmat" (Trillium är det vetenskapliga namnet på ett växtsläkte, på svenska "treblad"): $| \overline{D_{a} B} | = | \overline{D_{a} C} | = | \overline{D_{a} I} |$
Теорема Мансиона - "Mansions sats": $| \overline{D_{a} I} | = | \overline{D_{a} E_{a}} |$

Översättningar av dessa beteckningar till engelska har sedan användts i olika engelskspråkiga artiklar, men ofta presenteras satsen utan någon särskild benämning^[2]. På engelska förekommer också beteckningen Incenter-excenter circle på cirkeln genom de fyra punkterna^[3], men översättningen till svenska blir inte lika "elegant" (incenter = den inskrivna cirkelns medelpunkt, excenter = en vidskriven cirkels medelpunkt).

Härledningar

Betrakta figur 1 ovan. Medelpunkterna till den inskrivna cirkeln ( $I$ ) och till den vidskrivna cirkeln ( $E_{a}$ ) till sidan $\overline{B C}$ ligger båda på bisektrisen till vinkeln $∠ B A C$ . En cirkel (blå i figuren) med $\overline{I E_{a}}$ som diameter har sin medelpunkt i mittpunkten $D$ till $\overline{I E_{a}}$ . Vinkeln $∠ I B E_{a}$ är rät eftersom $\overline{B I}$ är bisektris till $∠ A B C$ och $\overline{B E_{a}}$ är bisektris till supplementvinkeln till $∠ A B C$ i hörnet $B$ (i enlighet med vad som gäller för medelpunkterna för in- och vidskrivna cirklar). Eftersom $I B E_{a}$ är rät ligger $B$ på den blå cirkeln i enlighet med Thales sats och på motsvarande sätt ligger även hörnet $C$ på denna cirkel. Sålunda går cirkeln med $\overline{I E_{a}}$ som diameter och med medelpunkt i $D$ genom punkterna $B$ , $C$ , $I$ och $E_{a}$ . Eftersom både $I$ och $E_{a}$ ligger på bisektrisen till triangelns hörnvinkel i $A$ är det trivialt att även $D$ ligger på bisektrisen till hörnvinkeln i $A$ . Att visa att $D$ ligger på den omskrivna cirkeln till $△ A B C$ göres, med hjälp av randvinkelsatsen, genom:

∠ B D C = 2 \cdot ∠ B E_{a} C = 2 \cdot (18 0^{\circ} - ∠ B I C) = 2 \cdot (18 0^{\circ} - (18 0^{\circ} - ∠ C B I - ∠ B C I) = 2 \cdot (∠ C B I + ∠ B C I) = 2 \cdot (\frac{∠ A B C}{2}

+ \frac{∠ A C B}{2}) = ∠ A B C + ∠ A C B = 18 0^{\circ} - ∠ B A C

och således ligger $D$ på triangelns omskrivna cirkel (då ju $\overline{B C}$ är en korda till den omskrivna cirkeln och summan av två randvinklar, en på vardera sidan av en korda, är 180°).

Betrakta nu diametern $\overline{D_{a} N_{a}}$ till den omskrivna cirkeln. Då $\overline{B D_{a}}$ är en korda i den omskrivna cirkeln säger randvinkelsatsen att $∠ B N_{a} D_{a} = ∠ B A D_{a} = \frac{∠ B A C}{2}$ . Thales sats säger att, eftersom att $\overline{D_{a} N_{a}}$ är en diameter till cirkeln, så är $∠ D_{a} B N_{a}$ rät och således är

\sin \frac{∠ B A C}{2} = \sin ∠ B N_{a} D_{a} = \frac{| \overline{D_{a} B} |}{| \overline{D_{a} N_{a}} |} = \frac{| \overline{D_{a} B} |}{2 R} \Rightarrow r_{D_{a}} = \frac{| \overline{I E_{a}} |}{2} = | \overline{D_{a} B} | = 2 R \cdot \sin \frac{∠ B A C}{2}

, där

R

är den omskrivna cirkelns radie,

Eftersom $| \overline{D_{a} B} | = | \overline{D_{a} C} |$ och den omskrivna cirkelns radie $R = | \overline{O B} | = | \overline{O C} |$ är $D_{a} B O C$ en drake och således skär diagonalerna i denna, $\overline{B C}$ och $\overline{D_{a} O}$ , varandra i rät vinkel (i den ljusblå punkten $M$ , som ju är mittpunkt på $\overline{B C}$ – således skär även mittpunktsnormalen till triangelsidan $\overline{B C}$ den omskrivna cirkeln i $D_{a}$ – jämför även "sydpolssatsen"). Då även vinkeln $∠ N_{a} B D_{a}$ är rät (vilket konstaterats ovan – $\overline{N_{a} D_{a}}$ är ju en diameter i den omskrivna cirkeln – Thales sats) är således trianglarna $△ B M D_{a}$ och $△ N_{a} B D_{a}$ likformiga (eftersom de förutom den räta vinkeln, även delar vinkeln $∠ B D_{a} N_{a} = ∠ B D_{a} M$ ) och därmed är även $∠_{a} D B M = ∠ B N_{a} D_{a} = \frac{∠ B A C}{2}$ . Således är:

\cos \frac{∠ B A C}{2} = \cos ∠ B N_{a} D_{a} = \cos ∠ D_{a} B M = \frac{| \overline{B M} |}{| \overline{B D_{a}} |} = \frac{| \overline{B M} |}{r_{D_{a}}} \Rightarrow r_{D_{a}} = \frac{| \overline{B M} |}{\cos \frac{∠ B A C}{2}} = \frac{| \overline{B C} |}{2 \cdot \cos \frac{∠ B A C}{2}}

varmed de angivna formlerna för radiens längd ( $r_{D}$ ) är härledda även de.

Enkel härledning (och utökning) av Mansions sats

Betrakta triangeln $△ E_{a} E_{b} E_{c}$ med hörn i de vidskrivna cirklarnas medelpunkter – figur 2. Bisektrisen $\overline{B E_{b}}$ till hörnet $B$ i $△ A B C$ är vinkelrät mot sidan $\overline{E_{a} E_{c}}$ i $B$ ^[4] och således är dels $\overline{B E_{b}}$ höjd till hörnet $E_{b}$ i $△ E_{a} E_{b} E_{c}$ och dels är $B$ detta hörns fotpunkt på $\overline{E_{a} E_{c}}$ . Samma gäller för $A$ och $C$ och således är dels $I$ ortocentrum i $△ E_{a} E_{b} E_{c}$ och dels är den omskrivna cirkeln till $△ A B C$ också niopunktscirkel till $△ E_{a} E_{b} E_{c}$ . På niopunktscirkeln ligger ju även mittpunkterna ( $D_{a}$ , $D_{b}$ och $D_{c}$ ) på sträckorna från ortocentrum $I$ till de tre triangelhörnen $E_{a}$ , $E_{b}$ och $E_{c}$ och således delar den omskrivna cirkeln till $△ A B C$ sträckorna $\overline{I E_{a}}$ , $\overline{I E_{b}}$ och $\overline{I E_{c}}$ i två lika delar.

Ett ytterligare resultat av att den omskrivna cirkeln till $△ A B C$ och niopunktscirkeln till $△ E_{a} E_{b} E_{c}$ sammanfaller är att skärningspunkterna $N_{a}$ , $N_{b}$ och $N_{c}$ mellan den omskrivna cirkeln till $△ A B C$ är mittpunkter på sträckorna mellan de tre vidskrivna cirklarnas medelpunkter (mittpunkterna på en triangels sidor ligger ju också på niopunktscirkeln). Mansions sats kan därför utvidgas till:

Mittpunkterna på sträckorna mellan den inskrivna cirkelns medelpunkt och de tre vidskrivna cirklarnas medelpunkter och mittpunkterna på sträckorna mellan två vidskrivna cirklars medelpunkter ligger på den omskrivna cirkeln till triangeln:

| \overline{I D_{a}} | = | \overline{E_{a} D_{a}} |

,

| \overline{I D_{b}} | = | \overline{E_{b} D_{b}} |

,

| \overline{I D_{c}} | = | \overline{E_{c} D_{c}} |

,

| \overline{E_{b} N_{a}} | = | \overline{E_{c} N_{a}} |

,

| \overline{E_{a} N_{b}} | = | \overline{E_{c} N_{b}} |

och

| \overline{E_{a} N_{c}} | = | \overline{E_{b} N_{c}} |

.

Referenser

MathVox:
- Trillium theorem.
- The lemma of a three leafed figure (relationship between the angle bisector the inscribed circle and the circumscribed circle in a triangle).
Eric W. Weisstein, Incenter-Excenter Circle på Wolfram MathWorld.

Noter

↑ Se punkt 10 i Вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения.
↑ Som exempelvis i Roger A. Johnson, 1929, Advanced Euclidean Geometry, Hover Mifflin Company (återutgiven av Dover Publications 1960), punkt 292, sid. 185.
↑ Jämför Weisstein.
↑ Eftersom $\overline{E_{a} E_{c}}$ är bisektris till supplementvinkeln till $∠ A B C$ i $B$ .

[1] Se punkt 10 i Вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения.

[2] Som exempelvis i Roger A. Johnson, 1929, Advanced Euclidean Geometry, Hover Mifflin Company (återutgiven av Dover Publications 1960), punkt 292, sid. 185.

[3] Jämför Weisstein.

[4] Eftersom $\overline{E_{a} E_{c}}$ är bisektris till supplementvinkeln till $∠ A B C$ i $B$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

Trilliumsatsen

Innehåll

Namn

Härledningar

Enkel härledning (och utökning) av Mansions sats

Referenser

Noter

Navigeringsmeny

Trilliumsatsen

Namn

Härledningar

Enkel härledning (och utökning) av Mansions sats

Referenser

Noter

Navigeringsmeny

Sök