Tb-satsen

Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator $T:L^p\to L^p$ om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion $b_1$ och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion $b_2$. Satsen säger då att man måste testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner $b_1$ och $b_2$.

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Bakgrund

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i ${ℝ}^n$ är en integraloperator om det finns en kärna $K:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$ så att man kan formulera

$Tf(x)=\int K(x,y)f(y)dy$

för en funktion f och alla $x\in {ℝ}^n$. Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen

$\{(x,y):x=y\}$

och Tf(x) är definierad bara när

$x\notin \text{spt}(f):=\overline{\{f(u):u\ne 0\}}$,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator $L^p\to L^p$ där $L^p$ är $L^p$-rummet för ${ℝ}^n$?

Hilberttransform

Till exempel, låt $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$, dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är $C^{\mathrm{\infty }}$. Definiera

$Hf(x):=\int \frac{f(y)}{x-y}dy$

för $x\notin \text{spt}(f)$, dvs $H$ är Hilberttransformen. Då blir kärnan

$K(x,y)=\frac{1}{x-y}$.

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när $x=y$. Man kan också definiera Hilbertransformen för L^p-funktioner eftersom $C_c^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ är en tät delmängd i $L^p(ℝ)$.

Dessutom, med detta kan man visa att det finns $C_p>0$ så att om $f\in L^p$ så är

$\Vert Hf{\Vert }_p\le C_p\Vert f{\Vert }_p$.

Därför är H en begränsad operator $L^p\to L^p$.

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna $b_1$ och $b_2$, kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

Låt $b:{ℝ}^n\to ℝ$ vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns $\delta >0$ så att

$\frac{1}{|Q|}\left|\underset{Q}{\int }b\right|\ge \delta$

för alla kuber $Q\subset {ℝ}^n$ där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan

En kärna $K$ är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

• Begränsadvillkor: det finns $C>0$ så att

$|K(x,y)|\le \frac{C}{|x-y{|}^n}$

för alla $x\ne y$.

• Tillväxtvillkor: det finns $C>0$ och $\alpha >0$ så att

$|K(x+h,y)-K(x,y)|+|K(x,y+h)-K(x,y)|\le \frac{C|h{|}^{\alpha }}{|x-y{|}^{n+\alpha }}$

för alla $|h|<\frac{1}{2}|x-y|$.

Svagt begränsat-villkor för operatorer

Låt $b_1,b_2\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är $(b_1,b_2)$-svagt begränsat om det finns $C>0$ så att

$|\int {\chi }_Q{b}_{2}T({\chi }_Q{b}_1)|\le C|Q|$

för alla kuber $Q\subset {ℝ}^n$.

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns $C>0$ så att

$\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }|f(x)-\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }f|dx\le C$

för alla kuber $Q\subset {ℝ}^n$. Om en funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ är begränsad med mellansvängning skriver man

$f\in \text{BMO}({ℝ}^n).$

Tb-satsen

Låt $b_1,b_2\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt $T$ vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att $T$ är definierad för $b_1$ och dessutom $T$:s transponat $T^{*}$ är definierad för $b_2$.

Då är $T$ en begränsad operator $L^p\to L^p$ om och endast om

• $T$ är $(b_1,b_2)$-svagt begränsad,
• $T{b}_1\in \text{BMO}({ℝ}^n)$ och
• $T^{*}{b}_2\in \text{BMO}({ℝ}^n).$

Skiss av bevis

Idén är att första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator $T:L^2\to L^2$. Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har $T:L^2\to L^2$ det är lätt att prova $T:L^p\to L^p$ för fixt $1<p<\mathrm{\infty }$ eftersom vi kan interpolera med Cotlars olikheten för $1<p<2$ och sedan använda dualhetet för $2<p<\mathrm{\infty }$.

Nuförtiden finns många olika bevis för $T:L^2\to L^2$. En prov är att vi använder dyadisk kuber:

Om $k\in \mathbb{Z}$ så är $Q\subset {ℝ}^n$ en dyadisk kub med ordning k, om där finns $\bar{m}\in {\mathbb{Z}}^n$ så att

$Q=[0,2^k{[}^n+2^k\bar{m}.$

Vi betecknar ${𝒟}_k$ av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i ${ℝ}^n$ och

$𝒟:=\bigcup _{k\in \mathbb{Z}}{𝒟}_k.$

För varje $k\in \mathbb{Z}$ dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av ${ℝ}^n$ och vi har:

$Q,Q^{\prime }\in {𝒟}_k\Rightarrow Q\cap Q^{\prime }=\mathrm{\varnothing }\vee Q\subset Q^{\prime }\vee Q^{\prime }\subset Q.$

Vi har en begränsad operator $T:L^2\to L^2$ om och endast om vi kan bevisa att

$\Vert Tf{\Vert }_2\le C\Vert f{\Vert }_2$

för alla $f\in L^p$. Eftersom $L^2({ℝ}^n)$ är en Hilbertrummet med inre produkten

$⟨f,g⟩:=\underset{{ℝ}^n}{\int }fg$

så man kan använda inom funktionalanalys så att

$\Vert Tf{\Vert }_2=\sup \{|⟨g,Tf⟩|:g\in L^2,\Vert g{\Vert }_2\le 1\}.$

Därför, vi måste använda att

$|⟨g,Tf⟩|\le C\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2$

för alla $g\in L^2$ och $\Vert g{\Vert }_2\le 1.$

För $k\in \mathbb{Z}$ och en para-akkretiv funktion $b:{ℝ}^n\to ℝ$ definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

• k-väntevärde: ${𝔼}_{k}f:=\sum _{Q\in {𝒟}_k}\left(\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }f\right){\chi }_Q$
• k-spridning: ${𝔻}_{k}f:={𝔼}_{k-1}f-{𝔼}_{k}f$
• b-viktad k-väntevärde: ${𝔼}_k^{b}f:=b\frac{{𝔼}_{k}f}{{𝔼}_{k}b}$
• b-viktad k-spridning: ${𝔻}_k^{b}f:={𝔼}_{k-1}^{b}f-{𝔼}_k^{b}f$

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

$f=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{𝔻}_k^{b}f$

för $f\in L^2$ med konvergensMall:Särskiljning behövs vid $L^2$-norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för $g\in L^2$ med $\Vert g{\Vert }_2\le 1$ vi har

$|⟨g,Tf⟩|=|\sum _{k\in \mathbb{Z}}⟨g,[({𝔼}_k^{b_2}{)}^{*}T{𝔻}_k^{b_1}+({𝔻}_k^{b_2}{)}^{*}T{𝔼}_k^{b_1}+({𝔻}_k^{b_2}{)}^{*}T{𝔻}_k^{b_1}]f⟩|.$

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub $Q\in {𝒟}_k$, $Q=\bigcup _{u=1}^{2^n}{Q}_u$, var $Q_u\in {𝒟}_{k-1}$, och $1\le u\le 2^n$ definirar vi en Haarfunktion ${\phi }_{Q,u}^b:{ℝ}^n\to ℝ$ så att

${\varphi }_{Q,u}^b(x):=\sqrt{\frac{\underset{Q_u}{\int }b\underset{\underset{p=u+1}{\overset{2^n}{\cup }}{Q}_p}{\int }b}{\underset{\underset{p=u}{\overset{2^n}{\cup }}{Q}_p}{\int }b}}(\frac{{\chi }_{Q_u}(x)}{\underset{Q_u}{\int }b}-\frac{{\chi }_{\underset{p=u}{\overset{2^n}{\cup }}{Q}_p}(x)}{\underset{\underset{p=u}{\overset{2^n}{\cup }}{Q}_p}{\int }b})$

• Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:

$|\sum _{k\in \mathbb{Z}}⟨{𝔻}_k^{b_2}g,T{𝔻}_k^{b_1}f⟩|\le C_3\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2.$

• Med BMO-rummets tillämpningar, paraprodukter, Carlesons inbäddningsats och liten dyadisk analys man har:

$|\sum _{k\in \mathbb{Z}}⟨{𝔼}_k^{b_2}g,T{𝔻}_k^{b_1}f⟩|\le C_1\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2.$

• Förra är symmetrisk med $⟨{𝔻}_k^{b_2}g,T{𝔼}_k^{b_1}f⟩$, dvs man har:

$|\sum _{k\in \mathbb{Z}}⟨{𝔻}_k^{b_2}g,T{𝔼}_k^{b_1}f⟩|\le C_2\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2.$

Därför vi har med triangelolikheten att

$|⟨g,Tf⟩|\le \max \{C_1,C_2,C_3\}\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2$,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar

• Hilberttransformen $Hf,$

$Hf(x)=\int \frac{f(y)}{x-y}dy$ ,

är en begränsad operator $L^p\to L^p$ eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_1=b_2=1.$

• Cauchytransformen ${𝒞}_{\mathrm{\Gamma }}f,$

${𝒞}_{\mathrm{\Gamma }}f(x):=\int \frac{f(y)}{x-y-i(\mathrm{\Gamma }(x)-\mathrm{\Gamma }(y))}dy$,

är en begränsad operator $L^p\to L^p$ eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_1=b_2=1+i{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }.$

Här $\mathrm{\Gamma }:ℝ\to ℝ$ är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ finns nästan överallt.

Se även

• Harmonisk analys
• Funktionalanalys

Referenser

• Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.