Superfakultet

Inom matematiken är superfakulteten en funktion relaterad till fakulteten. Den definierades av Neil Sloane och Simon Plouffe i The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) som produkten av de $n$ första värdena på fakulteten. Utskrivet är den

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}=1^n\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1{)}^2\cdot n^1.$

En ekvivalent formulering är

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{0\le i<j\le n}(j-i)$

som är determinanten av Vandermondematrisen.

De första värdena av superfakulteten är (från $n=0$):

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, 1834933472251084800000, 6658606584104736522240000000, 265790267296391946810949632000000000, 127313963299399416749559771247411200000000000, … Mall:OEIS

Alternativ definition

Clifford Pickover definierade i sin bok Keys to Infinity (1995) beteckningen n$ för en variation av superfakulteten:

$n\mathrm{\$}\equiv \begin{array}{c}\underbrace{n{!}^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}}\\ n!\end{array},$

som kan skrivas som,

$n\mathrm{\$}=n{!}^{(4)}n!$

där ⁽⁴⁾ betecknar hyper4-operatorn, eller genom att använda Knuths pilnotation

$n\mathrm{\$}=(n!)\uparrow \uparrow (n!).$

Denna följd av superfakulteter börjar

$1\mathrm{\$}=1$

$2\mathrm{\$}=2^2=4$

$3\mathrm{\$}=6\uparrow \uparrow 6={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}.$

Såsom vanligt tolkas itererade exponentationen på följande vis:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}.$

Se även

• Hyperfakultet

Källor

• Mall:Enwp