Störningsteori

Störningsteori är en approximationsmetod i kvantmekaniken där man beskriver ett svårare system som ett enklare (helst analytiskt lösbart) system plus en (liten) avvikelse. Detta möjliggör att vi kan hitta bra lösningar till många analytiskt olösbara system som stämmer bra överens med experimentella observationer. Kanske mest känt är den tydligt framträdande gula så kallade natriumdubbletten i spektrumet för natrium. Störningsteori är att betrakta avvikelsen från ett analytiskt lösbart problem i korrektioner till olika ordningar, i avtagande påverkan, och ta hänsyn till fler och fler detaljer i avvikelsen. Högre ordningars korrektioner ger därmed också noggrannare resultat.

Exempel på tillämpningar

Ett exempel är lösningsmetoden av Schrödingerekvationen för väteatomen. Man kan få en approximativ lösning med en icke-relativistisk hamiltonoperator. Sedan beaktar man relativistiska effekter genom att ta med dessa som störningstermer. Andra viktiga exempel är spinn-ban-koppling mellan banrörelsemängdsmomentet och rörelsemängdsmomentet spinn för elektronen, vilket ger finstrukturen för energinivåerna och förklarar den tydligt framträdande natriumdubbletten. Atomer i (tillräckligt svaga) magnetiska fält kan också studeras med störningsteori i den så kallade zeemaneffekten.

Tidsoberoende störningsräkning

Tidoberoende störningsräkning, när hamiltonianen inte har något tidberoende utan är stationär, föreslogs av Erwin Schrödinger 1926 . I denna publikation refererar Schrödinger till föregående arbete av Lord Rayleigh, som undersökte en strängs harmoniska vibrationer med en liten inhomogen störning. Därför kallas denna störningsteori ibland Rayleigh–Schrödingers störningsteori.

Första ordningens korrektion

Vi börjar med att identifiera ett känt problem som den ostörda hamiltonianen Mall:Math. Detta system har en känd lösning med kända egentillstånd och egenvärden

$H_0|n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|n^{(0)}⟩,n=1,2,3,\cdots$.

Om vi nu introducerar en störning Mall:Mvar till det kända problemet kan vi med Mall:Mvar som en dimensionslös parameter mellan 0 (ingen störning) till 1 (hela störningen), kan vi skriva hela hamiltonianen för problemet som

$H=H_0+\lambda V$

Energinivåerna och egentillstånden till denna hamiltonian fås från Schrödingerekvationen som

$(H_0+\lambda V)|n⟩=E_n|n⟩.$

Vi kan då skriva Mall:Mvar och $|n⟩$ uttryckt i energinivåerna och egentillstånden till det ostörda problemet Mall:Math. Om störningen är tillräckligt liten kan vi taylorutveckla dessa i potenser av Mall:Mvar

$\begin{array}{cc}{E}_n& =E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\cdots \\ |n⟩& =|n^{(0)}⟩+\lambda |n^{(1)}⟩+{\lambda }^2|n^{(2)}⟩+\cdots \end{array}$

Genom att sätt in detta i Schrödingerekvationen och hålla ordningen på potenser av Mall:Mvar fås att första ordningens korrektion till energinivåerna är

$E_n^{(1)}=⟨n^{(0)}|V|n^{(0)}⟩$

Första ordningens korrektion till vågfunktionen fås genom att använda detta, sätta in i Schrödingerekvationen och använda vågfunktionernas ortonormalitet,

$|n^{(1)}⟩=\sum _{k\ne n}\frac{⟨k^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}|k^{(0)}⟩$

Andra ordningens korrektion

Andra ordningens korrektion fås på samma sätt från insättning av utvecklingen i termer av $\lambda$ i Schrödingerekvationen som

$E_n^{(2)}=\sum _{k\ne n}\frac{{\left|⟨k^{(0)}|V|n^{(0)}⟩\right|}^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}$

för andra ordningens korrektion till energin och andra ordningens korrektion till vågfunktionen blir

$|n^{(2)}⟩=\sum _{k\ne n}\sum _{\ell \ne n}|k^{(0)}⟩\frac{⟨k^{(0)}|V|{\ell }^{(0)}⟩⟨{\ell }^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_{\ell }^{(0)})}-\sum _{k\ne n}|k^{(0)}⟩\frac{⟨n^{(0)}|V|n^{(0)}⟩⟨k^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})}^2}-\frac{1}{2}|n^{(0)}⟩\sum _{k\ne n}\frac{⟨n^{(0)}|V|k^{(0)}⟩⟨k^{(0)}|V|n^{(0)}⟩}{{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})}^2}.$

Notera att detta gäller för ett icke-degenererat fall.

Tidsberoende störningsräkning

I tidsberoende störningsräkning, som utvecklades av Paul Dirac, studeras en tidsberoende potential Mall:Math som störning till den tidsoberoende hamiltonianen Mall:Mvar₀. Hamiltonianen till det störda systemet är alltså

$H=H_0+\lambda V(t).$

Med $|\psi (t)⟩$ som egentillstånd till det störda systemet vid tiden Mall:Mvar, uppfyller detta den tidsberoende Schrödingerekvationen

$H|\psi (t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩.$

Egentillståndet kan uttryckas som en linjärkombination av den kompletta egenbasen $|n⟩$, alltså

$|\psi (t)⟩=\sum _n{c}_n(t)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }|n⟩$

där Mall:Math är de komplexa tidsberoende koefficienterna som tolkas som sannolikhetsamplituder för motsvarande tillstånd. Kvadraten av dessa sannolikhetsamplituder Mall:Math ger sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet Mall:Mvar vid tiden Mall:Mvar, eftersom

${|c_n(t)|}^2={|⟨n|\psi (t)⟩|}^2.$

Insättning i den tidsberoende Schrödingerekvationen ger

$\frac{\partial c_n}{\partial t}=\frac{-i}{\hslash }\sum _k⟨n|V(t)|k⟩c_k(t)e^{-i(E_k-E_n)t/\hslash }.$

En exakt lösning till detta är svårt att hitta, särskilt när det finns många energinivåer. Skriver man om ekvationen ovan på integralform

$c_n(t)=c_n(0)+\frac{-i}{\hslash }\sum _k\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }⟨n|V(t^{\prime })|k⟩c_k(t^{\prime })e^{-i(E_k-E_n)t^{\prime }/\hslash }.$

kan man utveckla lösningen för Mall:Mvar som

$c_n(t)=c_n^{(0)}+\lambda c_n^{(1)}+{\lambda }^2{c}_n^{(2)}+\cdots$

Första ordningens approximation

Dessa koefficienter Mall:Math kan till första ordningens approximation beräknas som

$c_n^{(1)}(t)={\delta }_{nk}-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}⟨n|V(t^{\prime })|k⟩e^{-i(E_k-E_n)t^{\prime }/\hslash }\mathrm{d}{t}^{\prime }.$

givet att systemet vid tiden $t=0$ befinner sig i tillståndet $|k⟩$. Sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet Mall:Mvar vid tiden Mall:Mvar ges då av

$P_{k\to n}^{(1)}(t)={|c_n^{(1)}(t)|}^2.$

Ytterligare resultat följer av detta, såsom Fermis gyllene regel, vilken relaterar övergångssannolikheten per tidsenhet mellan kvanttillstånd; eller dysonserien som lägger grunden för Feynmandiagram.