Siegel–Walfiszs sats

Inom analytisk talteori är Siegel–Walfiszs sats, uppkallad efter Arnold Walfisz och Carl Ludwig Siegel, ett resultat relaterat till primtal i aritmetiska följder. Definiera

$\psi (x;q,a)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\le x}{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}}\mathrm{\Lambda }(n),$

där $\mathrm{\Lambda }$ är Mangoldtfunktionen och φ är Eulers fi-funktion.

Då säger satsen att givet vilket som helst reellt tal N finns det en positiv konstant C_N som beror enbart på N så att

$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O(x\exp (-C_N(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

då (a, q) = 1 och

$q\le (\log x{)}^N.$

Anmärkningar

Konstanten C_N är inte effektivt beräknelig eftersom satsen själv är ineffektiv.

Från satsen kan vi härleda följande form av primtalssatsen för aritmetiska följder: Om vi för (a,q)=1 betecknar antalet primtal mindre eller lika store som x kongruenta a mod q med $\pi (x;q,a)$, då är

$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{L}\mathrm{i}(x)}{\phi (q)}+O(x\exp (-\frac{C_N}{2}(\log x{)}^{\frac{1}{2}}))$

där N, a, q, C_N och φ är som i satsen om Li betecknar logaritmiska integralen.

Referenser

• Mall:Enwp