Satsen om isolerade nollställen

Mall:Källor Satsen om isolerade nollställen är en sats inom komplex analys som säger att om $U$ är en sammanhängande mängd och $f:U\to ℂ$ är en icke-konstant holomorf funktion så har $f$ isolerade nollställen.

Bevis

Antag att $f$ har ett icke-isolerat nollställe. Låt $V\subseteq U$ vara mängden av alla $z$ sådana att $f$ är konstant $0$ i en omgivning av $z$. $V$ är trivialt öppen. Låt $z_0$ tillhöra det slutna höljet av $V$. Eftersom $f$ är holomorf och därmed kontinuerlig följer det att $f(z_0)=0$. Antag vidare att $f$ inte är konstant $0$ i någon omgivning av $z_0$. Eftersom $f$ är holomorf i $z_0$ är den även analytisk här och vi kan uttrycka $f$ som

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

i en omgivning av $z_0$. Vi måste dessutom ha åtminstone ett $a_n$ som är skiljt från $0$ eftersom $f$ annars mot antagandet skulle vara konstant $0$ här. Alltså får vi

$f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=a_m(z-z_0{)}^m(1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(z-z_0{)}^n)=a_m(z-z_0{)}^m(1+h(z))$

där $a_m\ne 0$ och $h$ är en holomorf funktion i en omgivning av $z_0$. Eftersom $h(z_0)=0$, och $h$ är kontinuerlig så är $1+h(z)\ne 0$ för $z$ i en omgivning av $z_0$. För $z$ i denna omgivning utom $z_0$ är även $a_m(z-z_0{)}^m$ nollskiljt, och det följer att det enda nollstället för $f$ i denna omgivning är $z_0$ eftersom $f(z)=a_m(z-z_0{)}^m(1+h(z))$. Detta motsäger antagandet att $z_0$ tillhör det slutna höljet av $V$ och därför är $f$ konstant $0$ i en omgivning av $z_0$ och det följer att $z_0\in V$. Mängden $V$ är alltså både öppen och stängd och enligt argumentet ovan måste $V$ innehålla det icke-isolerade nollstället enligt antagandet. Det följer nu eftersom $V$ inte är tom, att $V=U$ och att $f$ är konstant $0$.