Rindlerkoordinater

Inom relativistisk fysik är Rindlerkoordinater en viktig och användbar avbildning som föreställer en del av platt rumtid, även kallad Minkowski vakuum. Rindler-atlasen introducerades av Wolfgang Rindler. Rindlers koordinatsystem eller -ram beskriver en likformigt accelereraande referensram i Minkowski-rummet. I speciella relativitetsteorin, utför en likformigt accelererande partikel en hyperbolisk rörelse. För varje sådan partikel kan en Rindler-ram väljas, i vilken den befinner sig i vila.

Samband med kartesiska koordinater

För att åstadkomma en Rindler-avbildning, kan man starta med kartesiska koordinaterna

$d{s}^2=-d{T}^2+d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2,-\mathrm{\infty }<T,X,Y,Z<\mathrm{\infty }$

I området $0<X<\mathrm{\infty },-X<T<X$, som ibland kallas för Rindlers kil, definieras den nya avbildningen med hjälp av koordinattransformationen

$t=\mathrm{arctanh}(T/X),x=\sqrt{X^2-T^2},y=Y,z=Z$

Den inversa transformationen

$T=x\sinh (t),X=x\cosh (t),Y=y,Z=z$

I Rindlerkoordinater konverteras Minkowskis linjeelement till

$d{s}^2=-x^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,0<x<\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<t,y,z<\mathrm{\infty }$

I ekvationen är ljushastigheten satt c = 1. För att hitta avståndet till Rindler-horisonten är den oförenklade ekvationen bättre lämpad, givet accelerationen g:

$\begin{array}{cc}t& =\frac{c}{g}\mathrm{arctanh}\left(\frac{cT}{X}\right)\stackrel{X\gg cT}{\approx }\frac{c^{2}T}{gX}\\ X& \approx \frac{c^{2}T}{gt}\stackrel{T\approx t}{\approx }\frac{c^2}{g}\end{array}$

Tillämpningar

Rindlerkoordinater har kommit till användning bland annat för att beskriva Milne-modellen och Unruh-effekten.

Referenser

• Mall:Bokref Chapter 4 ger bakgrund till vektorfält på jämna mångfalder.

• Mall:Bokref

• Mall:Webbref