Riemanns xi-funktion

Riemanns xi-funktion $\xi (s)$ i det komplexa planet. Färgen på en punkt $s$ kodar värdet av funktionen. Mörkare färger anger värden närmare noll och nyans anger värdets argument.

Inom matematiken är Riemanns xi-funktion, uppkallad efter Bernhard Riemann, en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion.

Definition

Riemanns xi-funktion definieras som

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

för $s\in ℂ$ och där ζ(s) är Riemanns zetafunktion. Funktionalekvationen för xi är

$\xi (1-s)=\xi (s).$

Speciella värden

För positiva heltal n är

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!$

där B_n är det n-te Bernoullitalet. Exempelvis är

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}.$

Några andra speciella värden är

$\xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)=\frac{1}{2}$

$\xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(1/4)}{8{\pi }^{\frac{1}{4}}}=0,4971207781...$ Mall:OEIS

$\xi (3)=\frac{3}{2\pi }\zeta (3)$

$\xi (5)=\frac{15}{2{\pi }^2}\zeta (5).$

Serierepresentation

Xi-funktionen har serierepresentationen

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n$

där

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]$

där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt $|\mathrm{\Im }(\rho )|$.

Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λ_n > 0 för alla positiva n.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Mathworld
• Mall:Tidskriftsref