Ramanujans thetafunktion

Ramanujans thetafunktion är en generalisering av Jacobis thetafunktion. Funktionen är uppkallad efter Srinivasa Ramanujan.

Definition

Ramanujans thetafunktion definieras som

$f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}$

då |ab| < 1. Jacobis trippelprodukt tar då formen

$f(a,b)=f(b,a)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}$

där $(a;q{)}_n$ är q-Pochhammersymbolen. Tre viktiga specialfall av Ramanujans thetafunktion är

$f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}^2(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}$

och

$f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(-q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

och

$f(-q):=f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

Speciella värden

$\phi \left(e^{-\pi }\right)=\frac{\sqrt[4]{\pi }}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

$\phi \left(e^{-2\pi }\right)=\frac{\sqrt[4]{6\pi +4\sqrt{2}\pi }}{2\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

$\phi \left(e^{-3\pi }\right)=\frac{\sqrt[4]{27\pi +18\sqrt{3}\pi }}{3\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

$\phi \left(e^{-4\pi }\right)=\frac{\sqrt[4]{8\pi }+2\sqrt[4]{\pi }}{4\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

$\phi \left(e^{-5\pi }\right)=\frac{\sqrt[4]{225\pi +100\sqrt{5}\pi }}{5\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

$\phi \left(e^{-6\pi }\right)=\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot \sqrt[8]{243{\pi }^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})}$

Källor

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. Mall:ISBN.
• Mall:Springer
• Mall:Mathworld