q-derivata

Inom matematiken är q-derivatan eller Jacksonderivatan en q-analogi av den ordinära derivatan. Den introducerades av Frank Hilton Jackson. Den är inversen av Jacksons integral.

Definition

q-derivatan av en funktion f(x) definieras som

${\left(\frac{d}{dx}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$

Den skrivs ofta som $D_{q}f(x)$.

q-derivatan är linjär:

$D_q(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x).$

Den satisfierar en produktformel analog till den för ordinära derivatan:

$D_q(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Den satisfierar också kvotregeln

$D_q(f(x)/g(x))=\frac{g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)},g(x)g(qx)\ne 0.$

Relation till ordinära derivator

Q-differentiering har många av ordinära differentieringens egenskaper med några skillnader. Exempelvis är q-derivatan av ett monom

${\left(\frac{d}{dz}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1}$

där $[n{]}_q$ är q-analogin av n. Notera att $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$. Den n-te q-derivatan av en funktion vid 0 ges av

$(D_q^{n}f)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n{]}_q!$

bara den ordinära n-te derivatan av f existerar vid x=0. Här är $(q;q{)}_n$ q-Pochhammersymbolen och $[n{]}_q!$ q-fakulteten. Om $f(x)$ är analytisk kan man använda Taylorformeln till definitionen av $D_q(f(x))$ och få

$D_q(f(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(q-1{)}^k}{(k+1)!}{x}^k{f}^{(k+1)}(x).$

En q-analogi av Taylorexpansionen av en funktion vid noll följer:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(D_q^{n}f)(0)\frac{z^n}{[n{]}_q!}$