Pseudometriskt rum

Mall:Källor I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition

Ett pseudometriskt rum är ett par $(X,d)$ där $X$ är en mängd och $d$ är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för $x,y\in X$:

$d(x,y)\ge 0$

$d(x,x)=0$

$d(x,y)=d(y,x)$ (symmetri)

$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte $d(x,y)=0$ att $x=y$, vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum $X$ och utifrån detta skapar ett nytt rum $ℱ(X)$ som består av alla funktioner $f:X\to ℝ$. Om vi väljer ett speciellt element $x_0\in X$, kan vi få en pseudometrik på $ℱ(X)$ genom:

$d(f,g)=|f(x_0)-g(x_0)|$.

där $f,g\in ℱ(X)$.

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, $p$ genom:

$d(x,y)=p(x-y)$

Metriska rum från pseudometriska rum

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, $\sim$, på X genom:

$x\sim y$ om $d(x,y)=0$

och låt $X^{*}$ vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

$d^{*}([x],[y])=d(x,y)$

då $(X^{*},d^{*})$ är ett metriskt rum.

Exempel

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är $L^p$-rummet när $L^p$-normen

$\Vert f{\Vert }_p:={\left(\int |f{|}^p\right)}^{1/p}$

för $f\in L^p$ formar en pseudometrik

$d(f,g):=\Vert f-g{\Vert }_p$

för $f,g\in L^p$. Vi definiera $L^p$-rummet (med samma symbol) så att det har metriken $d^{*}$ för ekvivalensklasser.

Se även

• Metriskt rum