Potens (geometri)

Figur 1.
I det övre fallet ligger $P$ utanför cirkeln och $|\overrightarrow{P{S}_1}|$ och $|\overrightarrow{P{S}_2}|$ har samma riktning – potensen är därför positiv, medan $P$ i det nedre fallet ligger innanför cirkeln, varför $|\overrightarrow{P{S}_1}|$ och $|\overrightarrow{P{S}_2}|$ har motsatta riktningar, och potensen blir således negativ.

Inom plangeometrin betecknar potens, $\mathrm{\Pi }(P)$, förhållandet mellan en punkt $P$ och en cirkel med radien $r$ och medelpunkt i $O$ sådant att (se figur 1):

$\mathrm{\Pi }(P)=|\overline{PO}{|}^2-r^2$.

Punktens potens i förhållande till cirkeln är således positiv om punkten ligger utanför cirken ($|\overline{PO}|>r$), noll om den ligger på cirkeln ($|\overline{PO}|=r$) och negativ om den ligger innanför cirkeln ($|\overline{PO}|<r$). Potensen är bara beroende av avståndet mellan punkten och cirkelns medelpunkt, samt cirkelns radie.

Om en linje genom punkten skär cirkeln i två punkter ($S_1$ och $S_2$) är, enligt korda- och sekantsatserna potensen

$\mathrm{\Pi }(P)=|\overrightarrow{P{S}_1}|\cdot |\overrightarrow{P{S}_2}|$

där $|\overrightarrow{P{S}_1}|$ och $|\overrightarrow{P{S}_2}|$ betecknar längden av de riktade sträckorna, sådan att $|\overrightarrow{PS}|=-|\overrightarrow{SP}|$ (det vill säga att om sträckorna har motsatt riktning, blir potensen negativ). Med enhetsvektorn $\overrightarrow{v}$ figur 1 kan dessa längder uttryckas som $|\overrightarrow{P{S}_1}|=|\overline{P{S}_1}|\cdot \overrightarrow{v}$ och $|\overrightarrow{P{S}_2}|=|\overline{P{S}_2}|\cdot \overrightarrow{v}$ i det övre fallet, samt $|\overrightarrow{P{S}_1}|=|\overline{P{S}_1}|\cdot (-\overrightarrow{v})$ och $|\overrightarrow{P{S}_2}|=|\overline{P{S}_2}|\cdot \overrightarrow{v}$ i det nedre fallet.

Om $P$ ligger utanför cirkeln och en linje tangerar cirkeln i $T$ är

$\mathrm{\Pi }(P)=|\overline{PT}{|}^2$

i enlighet med tangent-sekantsatsen.

Begreppet "punktens potens i förhållande till cirkeln" ("Potenz des Punkts in Bezug auf den Kreis"), alternativt, "cirkelns potens i förhållande till punkten" ("Potenz des Kreises in Bezug auf den Punkt") infördes av den schweiziske matematikern Jakob Steiner i Einige geometrische Betrachtungen, 1826.

Referenser

• Punkts potens i Lex – Danmarks Nationalleksikon.
• Eric W. Weisstein, Circle Power på Wolfram MathWorld.