Polybernoullital

Inom matematiken är polybernoullitalen, introducerade av M. Kaneko, tal som definieras som

$\frac{L{i}_k(1-e^{-x})}{1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n^{(k)}\frac{x^n}{n!}$

där Li är polylogaritmen. $B_n^{(1)}$ är de vanliga Bernoullitalen.

Två intressanta formler av Kaneko är

$B_n^{(-k)}=\sum _{m=0}^n(-1{)}^{m+n}m!S(n,m)(m+1{)}^k$

och

$B_n^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min (n,k)}(j!{)}^{2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1)$

där $S(n,k)$ Stirlingtalen av andra ordningen.