Omegakonstanten

Omegakonstanten är den matematiska konstanten

$\mathrm{\Omega }\equiv W(1)\approx 0,5671432904$

där W betecknar Lamberts W-funktion.

Karakterisering

Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som exponentialfunktionens motsvarighet till det gyllene snittet, då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter:

• $\mathrm{\Omega }{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Omega }}=1$
• ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$
• $\ln (1/\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }.$

där e betecknar Eulers tal och ln betecknar den naturliga logaritmen.

Irrationalitet och transcendens

Omegakonstanten är ett irrationellt tal, vilket följer av att e är transcendent. Om Ω kunde skrivas som ett rationellt tal p/q skulle gälla att

$\mathrm{e}=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$

och därmed att e är algebraiskt, en motsägelse. Att Ω även är transcendent följer av Lindemann–Weierstrass sats: om den vore algebraisk skulle e^Ω och därmed även

$\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Omega }}}=\mathrm{\Omega },$

vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet.

Beräkning

Ω kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning Ω₀ och sedan utföra iterationen

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\Omega }}_n}$

som konvergerar mot Ω då n går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{\Omega }}_n}},$

som konvergerar kvadratiskt.

Integraler

En integral för omegakonstanten är

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{({\mathrm{e}}^x-x{)}^2+{\pi }^2}dx=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}.$

Jämförelsevis är

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{({\mathrm{e}}^x-x+1{)}^2+{\pi }^2}dx=\frac{1}{2};$

ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga.

Källor

• Eric Weisstein, "Omega Constant", MathWorld
• Gérard Michon, "Numerical Constants"
• Victor Moll, "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals", MAA Short Course on Experimental Mathematics