Multiperfekt tal

Inom matematiken är ett multiperfekt tal (även kallat plusperfekt tal) en generalisering av perfekta tal.

För ett givet naturligt tal k, så kallas ett tal n för ett k-perfekt tal om och endast om summan av alla positiva delare av n, sigmafunktionen, σ(n), är lika med kn; ett tal är således perfekt om och endast om det är 2-perfekt. Ett tal som är k-perfekt för ett k kallas för ett multiperfekt tal. I juli 2004 var k-perfekta tal kända för varje värde på k upp till 11.

Det går att bevisa att:

• För ett givet primtal p, om n är p-perfekt och p inte delar n så är pn (p + 1)-perfekt. Det innebär att ett heltal n är ett 3-perfekt tal delbart med 2 men inte med 4 om och endast om n/2 är ett udda perfekt tal, av vilka inga är kända.
• Om 3n är 4k-perfekt och 3 inte delar n så är det 3k-perfekt tal.

Minsta k-perfekta talen

Följande tabell ger en översikt av de minsta k-perfekta talen för k ≤ 8 (inklusive dess upptäckt): Mall:OEIS

k	Minsta k-perfekta tal	Upptäckt
1	1	Forntiden
2	6	Forntiden
3	120	Forntiden
4	30240	René Descartes (cirka 1638)
5	14182439040	René Descartes (cirka 1638)
6	154345556085770649600	Robert Daniel Carmichael (1907)
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason (1911)
8	2,34111439263306338... *10^161	Paul Poulet (1929)

Till exempel är 120 3-perfekt eftersom delarsumman av 120 är:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120.

Egenskaper

• Antalet multiperfekta tal lägre än X är $o(X^{ϵ})$ för alla positiva ε.

Specifika värden av k

Perfekta tal

Ett tal n med σ(n) = 2n är perfekt.

Triperfekta tal

Ett tal n med σ(n) = 3n är triperfekt. Ett udda triperfekt tal måste överstiga 10⁷⁰, ha minst 12 olika primtalsfaktorer, där den största överstiger 10⁵.

Källor

• Mall:Enwp

Bokkällor

• Mall:Webbref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Webbref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref

Externa länkar

• Multiperfekta tal Mall:En ikon
• Primtalsordlista: Multiperfekt tal Mall:En ikon