Mertensfunktionen

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion, som uppkallats efter den polske matematikern Franz Mertens, och som definieras enligt:

M (n) = \sum_{k = 1}^{n} μ (k)

där μ(n) är möbiusfunktionen. Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n.

Representationer

Genom att använda Eulerprodukten får man

\frac{1}{ζ (s)} = \prod_{p} (1 - p^{- s}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{μ (n)}{n^{s}}

där $ζ (s)$ är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{x^{s}}{s ζ (s)} d s = M (x)

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av $ζ (s) .$

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

\frac{1}{ζ (s)} = s \int_{1}^{\infty} \frac{M (x)}{x^{s + 1}} d x

som gäller för $R e (s) > 1 .$

En annan formel för Mertensfunktionen är

M (n) = \sum_{a \in ℱ_{n}} e^{2 π i a}

där

ℱ_{n}

är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

ψ (x) = M (\frac{x}{2}) \log (2) + M (\frac{x}{3}) \log (3) + M (\frac{x}{4}) \log (4) + \dots .