Mertens sats

Inom talteori är Mertens sats tre resultat från 1874 relaterade till primtalens densitet bevisade av Franz Mertens. Mertens sats kan även referera till hans sats inom analys.

Teoremen

I följande betecknar $p\le n$ alla primtalen mindre eller lika stora som n.

Mertens första sats:

$\sum _{p\le n}\frac{\ln p}{p}-\ln n$

har absolut värde mindre eller lika stort som 2 för alla $n\ge 2$.

Mertens andra sats:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}-\ln \ln n-M)=0$

där M är Meissel–Mertens konstant. Mer precist bevisar Mertens att uttrycket inom gränsvärdet har absolut värde mindre eller lika stort som

$\frac{4}{\ln (n+1)}+\frac{2}{n\ln n}$

för alla $n\ge 2$.

Mertens tredje sats:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln n\prod _{p\le n}(1-\frac{1}{p})=e^{-\gamma },$

där γ är Eulers konstant.

Källor

• Mall:Enwp