Landaus funktion

Landaus funktion, g(n)), uppkallad efter Edmund Landau, definieras för varje naturligt tal n till den största ordningen av en del av den symmetriska gruppen S_n. Ekvivalent, g(n) är den största minsta gemensamma multipel i varje partition av n, eller maximalt antal gånger en permutation av n element kan tillämpas rekursivt på sig själv innan den återgår till startföljden.

Till exempel är 5 = 2 + 3 och mgm(2,3) = 6. Ingen annan partition av 5 ger en större mgm, så g(5) = 6. Ett element av ordning 6 i gruppen S₅ kan skrivas i cykelnotation som Mall:Nowrap.

Heltalsföljden:

g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … Mall:OEIS

är uppkallad efter Edmund Landau som år 1902 bevisade att

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (g(n))}{\sqrt{n\ln (n)}}=1$

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Påståendet att

$\ln g(n)<\sqrt{{\mathrm{L}\mathrm{i}}^{-1}(n)}$

för tillräckligt stora n, där Li⁻¹ betecknar inversen av logaritmiska integralfunktionen, motsvarar Riemannhypotesen.

Man kan visa att:

$g(n)<e^{n/e}.$

Referenser

Tryckta källor

• E. Landau, "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades", Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, "The maximum order of an element of a finite symmetric group", American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497–506.
• J.-L. Nicolas, "On Landau's function g(n)", in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, pp. 228–240.

Externa länkar

• Mall:SloanesRef