Symmetrisk grupp

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med S_n. S_n har n! element. Endast för n ≤ 2 är S_n abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har S_n endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen A_n, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S₄ har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen $g\mapsto (h\mapsto gh)$.

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.

Notation

En permutation f av en ändlig mängd M kan noteras som en tabell, där första raden är en listning av M och andra raden består av bilderna av motsvarande element på första raden.

$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\\ f(x_1)& f(x_2)& \dots & f(x_n)\end{array}\right]$

En annan notation är den så kallade cykliska notationen, där varje element skrivs som en produkt av cykler

$(xf(x)f^2(x)\dots f^{n-1}(x))$

där $f^n(x)=x$. Cykler av längd ett brukar utelämnas som underförstådda.

Exempel: $\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 3& 5& 6& 2& 4\end{array}\right]=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 6\end{array}\right)$.

Nedan ges en listning av alla element i $S_3$ i de båda notationerna.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right]$
()	(1 2)	(1 3)	(2 3)	(1 2 3)	(1 3 2)

Presentation

En presentation av den symmetriska gruppen S_n ges av generatorerna σ₁, σ₂, ..., σ_n-1 och relationerna:

• ${\sigma }_i^2=1$
• ${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i\text{om}j\ne i\pm 1$
• ${\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$