LF-fördelning

En LF-fördelning (engelska linear fractional distributions) är en fördelning vars sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som kvoten mellan två linjära funktioner. En rationell funktion med linjära funktioner i täljare och nämnare ges av

$g(x)=\frac{a+bx}{c+dx}$

där

$a,b,c$

och

$d$

är godtyckliga konstanter. En slumpvariabel

$X$

sägs vara LF-fördelad med parametrarna

$p_0,p\in [0,1]$

 om dess sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som

$f(s)=E[s^X]=p_0+(1-p_0)\frac{ps}{1-(1-p)s}.$

Notera att fördelningen kan skrivas på formen av ett linjärt bråk då

$f(s)=\frac{p_0+(p-p_0)s}{1+(p-1)s}.$

Det behövs dock endast två fria parametrar

$p$

och

$p_0$

eftersom

$f$

är en genererande funktion med egenskaperna

$f(0)=p_0$

och

$f(1)=1$

. Tolkningen av LF-fördelningen är att det ger det totala antalet barn, där sannolikheten för det första barnet är

$1-p_0$

och sannolikheten att få barn efter det första barnet är

$1-p$

för varje barn.  LF-fördelningar är användbara för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.

Koppling till geometrisk fördelning

En slumpvariabel

$X$

, fördelad efter den diskreta fördelningen

$P(X=k)=p_k=\{\begin{array}{cc}{p}_0,& \text{om }k=0\\ p(1-p_0)(1-p{)}^{k-1},& \text{om }k\ge 1\end{array}$

har ekvation

$f$

som sannolikhetsgenererande funktion för

$|s(1-p)|<1$

. Då kan vi se att LF-fördelningen är nära besläktad med den geometriska fördelningen. Om

$p_0=p$

så får vi att

$f(s)=\frac{p}{1-(1-p)s},$

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den geometriska fördelningen. Så om

$X\stackrel{D}{\sim }\text{Geom}(p)$

så är

$f(s){|}_{p_0=p}=G_X(s)$

. Dessutom, om

$p_0=0$

får vi

$f(s{)}_{p_0=0}=\frac{ps}{1-(1-p)s}=G_{X+1}(s)$

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den skiftade geometriska fördelningen (benämnd för-första-gången-fördelning i artikeln om geometrisk fördelning). Vidare är

$P(X>0)=1-p_0$

och

$X$

givet

$X>0$

är fördelad enligt den skiftade geometriska fördelningen .

Användning i Galton-Watson-processen

LF-fördelningen kan användas som reproduktionsfördelning i Galton-Watson-processen. Vi har från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner att väntevärdet ges av

$\mu =E[Z_1]=f^{\prime }(1)=\frac{(1-p_0)p}{(1-(1-p)s{)}^2}{|}_{s=1}=\frac{1-p_0}{p}$

.

De tre fallen

$\mu <1$

,

$\mu =1$

och

$\mu >1$

benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen. I LF-fallet har vi då att

$1-p_0<p$

i det subkritiska fallet,

$1-p_0=p$

i det kritiska fallet och

$1-p_0>p$

i det superkritiska fallet.

Upprepad applicering

Om vi betraktar en kvot av två linjära funktioner är det tydligt att den har samma form även vid upprepad sammansättning

$g(g(\dots g(x)\dots )$

eftersom

$\frac{a+b\frac{a+bx}{c+dx}}{c+d\frac{a+bx}{c+dx}}=\frac{ac+adx+ab+b^{2}x}{c^2+cdx+ad+bdx}=\frac{ac+ab+(ab+b^2)x}{c^2+ad+(cd+bd)x}=\frac{a^{\prime }+b^{\prime }x}{c^{\prime }+d^{\prime }x}.$

Då LF-fördelningen kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner gäller det att sammansättningen också är en LF-fördelning. LF-fördelningen upprepad

$n$

gånger kan alltså skrivas som

$f_n(s)=f(f(\dots f(s)\dots ))=p_0^{(n)}+(1-p_0^{(n)})\frac{p^{(n)}s}{1-(1-p^{(n)})s}.$

Från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner och koppling till Galton-Watson-processen kan vi få ett uttryck av

$f_n$

i bara

$p_0,p$

. Parametrarna

$p^{(n)},p_0^{(n)}$

i

$f_n$

kan uttryckas som

 

$\{\begin{array}{cc}& p^{(n)}=\frac{1-\frac{p_0}{1-p}}{{\left(\frac{1-p_0}{p}\right)}^n-\frac{p_0}{1-p}},\\ & p_0^{(n)}=\frac{1-{\left(\frac{p}{1-p_0}\right)}^n}{\frac{1-p}{p_0}-{\left(\frac{p}{1-p_0}\right)}^n},\end{array}$

där

$p$

och

$p_0$

är parametrarna i LF-fördelningen

$f$

. I det kritiska fallet, då

$p=1-p_0$

gäller specifikt

$\{\begin{array}{cc}{p}^{(n)}& =\frac{p}{p+(1-p)n},\\ p_0^{(n)}& =\frac{(1-p)n}{p+(1-p)n}.\end{array}$

Dessa uttryck är användbara för analys av Galton-Watson-processen.