Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering innebär att skriva om ett andragradspolynom (polynom av grad 2) av formen

$x^2+px+q(1)$

till formen

${(x+\frac{p}{2})}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q(2)$.

Med hjälp av kvadreringsregeln $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$ kan (2) utvecklas, vilket visar att (2) är ekvivalent med (1):

${(x+\frac{p}{2})}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q=$

$x^2+2\cdot \frac{px}{2}+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q=x^2+px+q$.

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Exempel

• För att hitta de två lösningarna till ekvationen

$x^2+32x-33=0$

kan kvadratkomplettering användas:

$x^2+32x-33={(x+\frac{32}{2})}^2-{\left(\frac{32}{2}\right)}^2-33={(x+16)}^2-289$

Sätt ovanstående lika med noll och lös

${(x+16)}^2-289=0\Rightarrow$

${(x+16)}^2=289\Rightarrow$

$x+16=\pm 17\Rightarrow$

$x=-16\pm 17\Rightarrow$

$x=1\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}x=-33$

• Med kvadratkomplettering går det att lokalisera andragradspolynoms minsta värden:

$x^2+px+q=\underset{\ge 0}{\underbrace{{(x+\frac{p}{2})}^2}}+(q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2)\ge q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2$

Olikheten visar att det minsta värdet

$q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2$

antas då

$x=-\frac{p}{2}$.

Se även

• polynom
• andragradsekvation