Kumulativ fördelningsfunktion

Fördelningsfunktionen för en diskret fördelning överst, i mitten för en kontinuerlig fördelning och nederst för en fördelning som är en kombination.

Den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver en sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel inom den matematiska statistiken. För en slumpvariabel X definierad på sannolikhetsrummet $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ definieras den kumulativa fördelningsfunktionen F_X(x) som

$F_X(x)=\mathrm{Pr}(X\le x)$.

$F_X(x)$ beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre än eller lika med x. Den kumulativa fördelningsfunktionen är monotont växande och högerkontinuerlig. Den har alltid egenskaperna

• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$

• $0\le F(x)\le 1$

För en diskret slumpvariabel som kan anta värdena x₁, x₂... är F diskontinuerlig i punkterna x_i och har konstant värde däremellan, det vill säga, den har ett trappstegsliknande utseende.

För en kontinuerlig slumpvariabel är F en kontinuerlig funktion. Om F dessutom är absolutkontinuerlig så gäller

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

där f(t) är täthetsfunktionen (eller frekvensfunktionen) för variabelns fördelning.

Sannolikheten för att en slumpvariabel ska anta värden större än a och mindre eller lika med b kan beräknas med:

$\mathrm{Pr}(a<X\le b)=F(b)-F(a)$

Tabell över värdena hos den kumulativa normalfördelningsfunktionen finns att läsa här. Andra fördelningar har andra tabeller.

Externa länkar

• Mall:Commonscat