Kroneckerprodukt

Kroneckerprodukt är en matematisk operation på två matriser, vilket resulterar i en ny, större, matris som enklast uttrycks som en blockmatris. Operationen är uppkallad efter Leopold Kronecker.

Definition

Om A är en m × n-matris och B är en p × q-matris så är deras kroneckerprodukt en mp × nq-matris definierad av:

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ a_{21}B& a_{22}B& \cdots & a_{2n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right).$

Exempel

Låt A och B vara definierade enligt:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 6& 2\end{array}\right).$

Deras kroneckerprodukter blir:

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cc}B& -B\\ 0& 2B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 3& -1& 0& -3\\ 0& 6& 2& 0& -6& -2\\ 0& 0& 0& 2& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0& 12& 4\end{array}\right)$

$B\otimes A=\left(\begin{array}{ccc}A& 0& 3A\\ 0& 6A& 2A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& -1& 0& 0& 3& -3\\ 0& 2& 0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 6& -6& 2& -2\\ 0& 0& 0& 12& 0& 4\end{array}\right)$

Egenskaper

Kroneckerprodukten har egenskaperna

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$

$(kA)\otimes B=k(A\otimes B)$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$ om AC och BD är definierade.

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T$

Egenvärden

Om ${\lambda }_i$ för i = 1, 2, ..., n är egenvärden till A och ${\mu }_j$ för j = 1, 2, ..., q är egenvärden till B så är ${\lambda }_i{\mu }_j$ ett egenvärde till deras kroneckerprodukter för alla kombinationer av i och j och alla egenvärden till kroneckerprodukterna uppkommer på detta sätt.

Ur detta kan man få ekvationer för matrisspåren och determinanterna för kroneckerprodukterna:

$\mathrm{tr}(A\otimes B)=\mathrm{tr}A\mathrm{tr}B$

$\det (A\otimes B)=(\det A{)}^q(\det B{)}^n$

Kroneckersumma

En kroneckersumma av två kvadratiska matriser A och B (n × n respektive m × m) är matrisen definierad av

$I_m\otimes A+B\otimes I_n$

Kroneckersummans egenvärden är på formen ${\lambda }_i+{\mu }_j$.

Matrisekvationer

Kroneckerprodukter kan användas för att lösa matrisekvationer av typen AxB = C, då man kan få en lösning genom

$(B^T\otimes A)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C$

som löses som ett vanligt ekvationssystem. vec C är vektoriseringen av matrisen C, C:s kolonner staplade ovanpå varandra i en vektor.

Kroneckersummor används vid lösningen av Sylvesters ekvation, AX + XB = C, då en lösning ges av:

$(I_m\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C$

Referenser

• Mall:Citation.