Blockmatris

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel

Matrisen:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ 1& 1& 2& 2\\ 4& 4& 5& 5\\ 4& 4& 5& 5\end{array}\right)$

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

$P_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),P_{12}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),P_{21}=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right),P_{22}=\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 5& 5\end{array}\right)$

Så att $A$ då kan skrivas:

$A=\left(\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right)$

Blockdiagonala matriser

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om $A$ är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& A_n\end{array}\right)$

Där $A_k$ är en kvadratisk matris. Matrisen $A$ kan då skrivas som en direkt summa, $A=A_1\oplus A_2\oplus ...\oplus A_n$. Det finns även samband för determinanten och spåret:

$\det A=\det A_1\det A_2...\det A_n$

$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}{A}_1+\mathrm{tr}{A}_2+...+\mathrm{tr}{A}_n$

Blockmatrismultiplikation

Given två blockmatriser matriserna $A$ och $B$ där $A$ har format $m\times p$ och $B$ har format $p\times n$, med blockindelning:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1s}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{q1}& A_{q2}& \cdots & A_{qs}\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s1}& B_{s2}& \cdots & B_{sr}\end{array}\right)$

Dvs, $A$ har $s$ kolonnupdelningar och $q$ raduppdelningar. $B$ har $r$ kolonnupdelningar och $s$ raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten $C=AB$ med format $m\times n$, med $q$ raduppdelningar och $r$ kolonnupdelningar med:

$C_{xy}=\sum _{k=1}^s{A}_{xk}{B}_{ky}$

Mall:Linjär-algebra