Kōmuras sats

Inom matematiken är Kōmuras sats ett resultat om differentierbarheten av absolut kontinuerliga funktioner över Banachrum. Satsen är en betydlig generalisering av Lebesgues sats som säger att Φ : [0, T] → R definierad som

$\mathrm{\Phi }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi (s)\mathrm{d}s,$

är differentierbar vid t för nästan alla 0 < t < T då φ : [0, T] → R är i L^p-rummet L¹([0, T]; R).

Satsen

Låt (X, || ||) vara ett reflexivt Banachrum och låt φ : [0, T] → X bevara absolut kontinuerlig. Då är φ (starkt) differentierbar nästan överallt, derivatan φ′ är i Bochnerrummet L¹([0, T]; X) och för alla 0 ≤ t ≤ T är

$\phi (t)=\phi (0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\phi }^{\prime }(s)\mathrm{d}s.$

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Bokref Mall:MathSciNet (Theorem III.1.7)