Householdertransformation

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper

Ett hyperplan $\pi$ kan definieras med dess normerade normalvektor, $v$ (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen $Q$ av:

$Q=I-2v{v}^{*}$

Där $I$ är enhetsmatrisen och $v^{*}$ är det hermiteska konjugatet av $v$. $Q$ reflekterar en punkt $x$ i $\pi$, ty:

$Qx=x-2v{v}^{*}x=x-2⟨v,x⟩v$

Där $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ är skalärprodukten. Detta på grund av att $|⟨v,x⟩|$ ger avståndet mellan $x$ och $\pi$.

$Q$ har ett antal bra egenskaper:

• $Q$ är hermitesk: $Q=Q^{*}$.
• $Q$ är unitär: $Q^{*}=Q^{-1}$.
• Av detta följer att $Q$ är sin egen invers: $Q^2=I$.

Vilket stämmer bra då reflektionen av $x$:s reflektion måste vara $x$.

Användning

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.