Hopfinvariant

Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi, är Hopfinvarianten, uppkallad efter Heinz Hopf, en homotopiinvariant av vissa avbildningar mellan sfärer.

Definition

Låt $\varphi :S^{2n-1}\to S^n$ vara en kontinuerlig funktion (anta att $n>1$). Då kan vi bilda cellkomplexet

$C_{\varphi }=S^n{\cup }_{\varphi }{D}^{2n},$

där $D^{2n}$ är en $2n$-dimensionell disk associerad till $S^n$ via $\varphi$. De cellulära kedjegrupperna $C_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{*}(C_{\varphi })$ är fritt genererade på $n$-celler i grad $n$, så de är lika med $\mathbb{Z}$ i grad 0, $n$ och $2n$ och noll annars. Cellulär (ko-)homologi är (ko-)homologin av detta kedjekomplex, och eftersom alla randhomomorfier måste vara noll (kom ihåg att $n>1$), är kohomolgin

$H_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}^i(C_{\varphi })=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& i=0,n,2n,\\ 0& \text{annars}.\end{array}$

Beteckna generatorerna av kohomologigrupperna med

$H^n(C_{\varphi })=⟨\alpha ⟩$ and $H^{2n}(C_{\varphi })=⟨\beta ⟩.$

För dimensionella orsaker måste alla kupprodukter mellan dessa klasser vara triviala utom $\alpha ⌣\alpha$. Följaktligen, som en ring, är kohomologin

$H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb{Z}[\alpha ,\beta ]/⟨\beta ⌣\beta =\alpha ⌣\beta =0,\alpha ⌣\alpha =h(\varphi )\beta ⟩.$

Heltalet $h(\varphi )$ är Hopfinvarianten av avbildningen $\varphi$.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Springer