Heine–Cantors sats

Heine–Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion $f:M\to N$, där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.

Bevis

Låt $f:M\to N$ vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p. Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:d(x,y)<\delta \Rightarrow p(f(x),f(y))<\epsilon \mathrm{\forall }x,y\in M$

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0:\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }x,y\in M:d(x,y)<\delta \mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}p(f(x),f(y))\ge {\epsilon }_0.$

Välj två följder, $x_n$ och $y_n$ så att:

$d(x_n,y_n)=\frac{1}{n}$ och $p(f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0.$

Då M är kompakt existerar det (Bolzano–Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

$x_{n_k}\to x_0\in M\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}{y}_{n_k}\to y_0\in M$

så det följer att:

$d(x_{n_k},y_{n_k})<\frac{1}{n_k}\Rightarrow p(f(x_{n_k}),f(y_{n_k}))\ge {\epsilon }_0$

den första delen ger att $x_0=y_0$ och den andra säger att $f(x_0)\ne f(y_0)$, vilket uppenbarligen är en motsägelse.