Hardy–Littelwoods zetafunktionsförmodanden

Inom matematiken är Hardy–Littlewoods zetafunktion-förmodanden, uppkallade efter Godfrey Harold Hardy och John Edensor Littlewood, två förmodanden gällande avståndet mellan och densiteten av nollställena av Riemanns zetafunktion.

Låt $N(T)$ vara totala antalet nollställen och $N_0(T)$ totala antalet nollställen av udda ordning av funktionen $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ i intervallet $(0,T]$.

Hardy och Littlewood gjorde två förmodanden. Dessa förmodanden öppnade nya riktningar inom zetafunktionens teori.

1. För alla $\epsilon >0$ finns det $T_0=T_0(\epsilon )>0$ så att för $T\ge T_0$ och $H=T^{0.25+\epsilon }$ innehåller intervallet $(T,T+H]$ ett nollställe av udda ordning av funktionen $\zeta (\frac{1}{2}+it)$.

2. För alla $\epsilon >0$ finns det $T_0=T_0(\epsilon )>0$ och $c=c(\epsilon )>0$ så att för $T\ge T_0$ och $H=T^{0.5+\epsilon }$ gäller olikheten $N_0(T+H)-N_0(T)\ge cH$.

1942 studerade Atle Selberg problemet 2 och bevisade att för alla $\epsilon >0$ finns det $T_0=T_0(\epsilon )>0$ och $c=c(\epsilon )>0$ sådant att för $T\ge T_0$ och $H=T^{0.5+\epsilon }$ gäller olikheten $N(T+H)-N(T)\ge cH\log T$.

Referenser

• Mall:Enwp