Giesekings konstant

Giesekings konstant är en matematisk konstant. Den är uppkallad efter Hugo Gieseking.

Definition

Giesekings konstant definieras som integralen

$G=\underset{0}{\overset{2\pi /3}{\int }}\ln (2\cos \frac{t}{2})\mathrm{d}t=1,01494160640965362502120255427452028594168930753029\dots$

Mall:OEIS.

Alternativa definitioner

Giesekings konstant kan även definieras som

$G=\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}\left(\frac{1}{3}\pi \right)$

där $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}$ är Clausens funktion,

$G=\frac{1}{36}i({\pi }^2-36\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(-(-1{)}^{2/3}))=\frac{1}{2}i(\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}((-1{)}^{2/3})-\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}((-1{)}^{1/3}))$

där $\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}$ är dilogaritmen,

$G=D(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$

där $D$ är Bloch-Wigners dilogaritm, samt

$G=\frac{9-{\psi }_1(\frac{2}{3})+{\psi }_1(\frac{4}{3})}{4\sqrt{3}}$

där ${\psi }_1$ är trigammafunktionen.

Oändlig serie

$G=\frac{3\sqrt{3}}{4}(1-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k+2{)}^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(3k+1{)}^2})=\frac{3\sqrt{3}}{4}(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}\pm \dots ).$