Gersjgorins cirkelsats

Gersjgorins cirkelsats är ett resultat inom matematik som ger approximativa positioner för en matris egenvärden i det komplexa talplanet. Satsen är uppkallad efter Semyon Aranovich Gersjgorin som publicerade resultatet 1931.

Gersjgorins cirkelsats

Låt A vara en n  × n-matris med elementet a_ij på rad i och kolonn j. För varje rad, låt R_i vara summan av absolutbeloppen av rad i:s element, förutom diagonalelementet:

$R_i=\sum _{j\ne i}|a_{ij}|$.

Låt D_i vara den slutna cirkeln i det komplexa talplanet med mittpunkt i a_ii och radie R_i. Dessa D_i kallas Gersjgorinskivor. Gersjgorins cirkelsats säger att alla A:s egenvären λ_i ligger i unionen av dessa skivor:

${\lambda }_i\in \bigcup _{i=1}^n{D}_i=\bigcup _{i=1}\{x\in ℂ:|a_{ii}-x|\le R_i\}$.

Vidare, om D_k är disjunkt från alla andra Gersjgorinskivor, kommer ett egenvärde ligga i D_k.

I satsen kan man vid bildandet av R_i summera över A:s kolonner istället för raderna.

Bevis

Låt $\lambda$ vara ett egenvärde till $A$. Välj en egenvektor $x$ så att en komponent $x_i=1$ och att $|x_j|\le 1\mathrm{\forall }j\ne i$. Då $Ax=\lambda x$ gäller det att

$\sum _j{a}_{ij}{x}_j=\lambda x_i=\lambda$.

Uppdelning av summan och det faktum att $x_i=1$ ger att

$\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j+a_{ii}=\lambda$.

Därför, med hjälp av triangelolikheten, gäller att

$|\lambda -a_{ii}|=\left|\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j\right|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}||x_j|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}|=R_i$.

Tillämpning

Eftersom en matris är singulär om och endast om A har noll som egenvärde, ger en satsen direkt att en matris är inverterbar om den är strikt diagonaldominant.

Gersjgorins cirkelsats tillämpas även inom numerisk analys vid lösningen av ekvationssystem Ax = b där A är en matris med stort konditionstal.

Se även

• Perron-Frobenius sats

Referenser

• Mall:Bokref