Generaliserad integral

Definition

En integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ sägs vara generaliserad om $f(x)$ inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på $[a,b]$, eller om en integrationsgräns formellt ersatts med $\mathrm{\infty }$ eller $-\mathrm{\infty }$. En multipelintegral $\int \dots \underset{D}{\int }fd{x}_1\dots d{x}_n$ sägs vara generaliserad om $f$ är obegränsad, odefinierad i någon del av $D$, eller om $D$ är obegränsad.

Betydelse

Antag att $f(x)$ är definierad på intervallet $[a,b]$. Då definieras $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx:=\underset{c\to b}{\lim }(\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx)$, $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx:=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx)$ och $\underset{a}{\overset{-\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ analogt. Alla generaliserade integraler kan överföras till en linjärkombination av de ovanstående tre integralerna. Om $f(\overline{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overline{x}\in D$ och $\int \dots \underset{D}{\int }fd{x}_1\dots d_n$ är generaliserad så definieras $\int \dots \underset{D}{\int }fd{x}_1\dots d_n:=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int \dots \underset{E_p}{\int }fd{x}_1\dots d_n$, där $(E_n)$ är en uttömmande svit till $D$. Om $f$ växlar tecken på $D$ så definieras $\int \dots \underset{D}{\int }fd{x}_1\dots d_n:=\int \dots \underset{{\mathrm{\Omega }}_{+}}{\int }fd{x}_1\dots d_n-\int \dots \underset{{\mathrm{\Omega }}_{-}}{\int }fd{x}_1\dots d_n$, där ${\mathrm{\Omega }}_{+}\cap {\mathrm{\Omega }}_{-}=\mathrm{\varnothing }\wedge {\mathrm{\Omega }}_{+}\cup {\mathrm{\Omega }}_{-}=D\wedge f(\overline{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overline{x}\in {\mathrm{\Omega }}_{+}\wedge f(\overline{x})\le 0\mathrm{\forall }\overline{x}\in {\mathrm{\Omega }}_{-}$.

Konvergens

En generaliserad integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ säges konvergera om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den divergera.

Se även

• Integral
• Multipelintegral

Externa länkar

• Mall:Commonscat