Gelfand–Kirillovdimension

Inom matematiken är Gelfand–Kirillodimensionen (eller GK-dimensionen) av en högermodul M över en k-algebra A

$\mathrm{GKdim}=\underset{V,M_0}{\sup }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\log }_n{\dim }_k{M}_0{V}^n$

där sup tas över alla ändligdimensionella delrum $V\subset A$ och $M_0\subset M$.

En algebra säges ha polynomisk tillväxt om dess Gelfand–Kirillovdimension är ändlig.

Grundläggande egenskaper

• Gelfand–Kirillovdimensionen av en ändligtgenererad kommutativ algebra A över en kropp är lika med Krulldimensionen av A (eller ekvivalent transcendensgraden av kroppen av fraktioner av A över baskroppen.)
• Speciellt är GK-dimensionen av polynomringen $k[x_1,\dots ,x_n]$ lika med n.
• (Warfield) För varje reellt tal r ≥ 2 finns det en ändligtgenererad algebra vars GK-dimension är r.

Inom teorin av D-moduler

Givet en högermodul M över Weylalgebran $A_n$ är Gelfand–Kirillovdimensionen av M över Weylalgebran lika med M, som enligt definition är graden av Hilbertpolynomet av M. Detta möjliggör bevisandet av additivitet av Gelfand–Kirillovdimensionen i korta exakta följder och slutligen beviset av Bernsteins olikhet, som säger att simensionen av M är minst n. Detta leder till definitionen av holonomiska D-moduler som de moduler med minimal dimension n, och dessa moduler har en viktig roll i geometriska Langlands program.

Referenser

Källor

• Mall:Tidskriftsref
• Coutinho: A primer of algebraic D-modules. Cambridge, 1995

Vidare läsning

• Mall:Webbref