Fullständigt mått

Ett fullständigt mått är ett begrepp inom matematisk måtteori. Ett mått är fullständigt om alla delmängder av nollmängder är mätbara. Dessa mängder kommer då nödvändigtvis ha måttet 0.

Formell definition

Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum. Måttet µ är fullständigt om

$A\in ℱ,B\subset A\text{och}\mu (A)=0\Rightarrow B\in ℱ$,

dvs delmängder av A är mätbara mängder. Om måttet i måttrummet är fullständigt kallas måttrummet för ett fullständigt måttrum.

Exempel

Alla mått som man har konstruerade med yttre mått vid Carathéodorys kriterion är fullständigt: om ${\mu }^{*}$ är ett yttre mått, $A\subset X$ en µ*-mätbar mängd, ${\mu }^{*}(A)=0$ och $B\subset A$ så är

${\mu }^{*}(B\cap E)+{\mu }^{*}(B\setminus E)\stackrel{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}{\le }{\mu }^{*}(E)+{\mu }^{*}(A)={\mu }^{*}(E)$

och

${\mu }^{*}(E)\stackrel{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}}{\le }{\mu }^{*}(B\cap E)+{\mu }^{*}(B\setminus E),$

för alla $E\subset X$. Så att B är µ*-mätbar.

Därför är Lebesguemåttet och Hausdorffmåttet fullständiga mått.

Andra exempel är räknemåttet och Diracmåttet

Tillämpningar

• Man behöver fullständighet i $L^p$-rummets definitionen eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

Se även

• Mått (matematik)