Energiekvationen

Mall:Källor Energiekvationen bygger på Reynolds transportteorem (RTT) där den extensiva storheten B står för energi. Den intensiva storheten β blir då energi per enhet massa:

$\beta =\frac{dE}{dm}=𝑒$

Grundform

Energiekvationen kan förenklas beroende på förhållanden men skrivs i grundform som:

${\frac{dE}{dt}}_{syst}=\frac{dQ}{dt}-\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\underset{kv}{\int }𝑒\rho dV\right)+\underset{ky}{\int }𝑒\rho (𝐕\cdot 𝐧)dA$

där Q står för värme, W för arbete (alltså står $\frac{dQ}{dt}=\dot{Q}$ för överfört värme per tidsenhet och $\frac{dW}{dt}=\dot{W}$ för arbete per tidsenhet), kv för kontrollvolym och ky för kontrollyta. V är en hastighetsvektor och n är en enhetsvektor (negativ för inflöde och positiv för utflöde). e är summan av:

$𝑒={𝑒}_{intern}+{𝑒}_{kinetisk}+{𝑒}_{potentiell}+{𝑒}_{annan}$

Den sista termen övrig rör kemiska eller nukleära reaktioner alternativt magnetfält och är därför nästan alltid lika med noll. e kan då skrivas om med $\hat{u}$ som intern energi och längden z ritkad uppåt:

$𝑒=\hat{u}+\frac{V^2}{2}+gz$

Arbete per tidsenhet består av axelarbetet ${\dot{W}}_s$, de viskösa spänningarnas arbete ${\dot{W}}_v$ samt tryckkrafternas arbete ${\dot{W}}_p$. De två senare är:

${\dot{W}}_p=\underset{ky}{\int }p(𝐕\cdot 𝐧)dA$ ${\dot{W}}_v=-\underset{ky}{\int }\mathit{\tau }\cdot 𝐕dA$

Där p är trycket i fluiden och $\mathit{\tau }$ är spänningsvekorn. Alltså är arbetet (notera att de viskösa spänningarnas arbete är negativt):

$\dot{W}={\dot{W}}_s+\underset{ky}{\int }p(𝐕\cdot 𝐧)dA-\underset{ky}{\int }\mathit{\tau }\cdot 𝐕dA$

Energiekvationen kan då skrivas om till:

$\dot{Q}-{\dot{W}}_s-{\dot{W}}_v=\frac{d}{dt}\left[\underset{kv}{\int }\right(\hat{u}+\frac{V^2}{2}+gz\left)\rho dV\right]+\underset{ky}{\int }(\hat{h}+\frac{V^2}{2}+gz)\rho (𝐕\cdot 𝐧)dA$

$\hat{h}$ står för entalpi och definieras som $\hat{h}=\hat{u}+\frac{p}{\rho }$.

Endimensionellt in- och utflöde

$\underset{ky}{\int }(\hat{h}+\frac{V^2}{2}+gz)\rho (𝐕\cdot 𝐧)dA=\sum (\hat{h}+\frac{V^2}{2}+gz{)}_{ut}{\dot{m}}_{ut}-\sum (\hat{h}+\frac{V^2}{2}+gz{)}_{in}{\dot{m}}_{in}$

Stationär strömning, ett endimensionellt inlopp samt ett endimensionellt utlopp

${\hat{h}}_1+\frac{V_1^2}{2}+g{z}_1={\hat{h}}_2+\frac{V_2^2}{2}+g{z}_2-q+w_s+w_v$

där $q=\frac{\dot{q}}{\dot{m}}{w}_s=\frac{\dot{Q}}{\dot{m}}{w}_v=\frac{{\dot{W}}_v}{\dot{m}}$

Se även

• Bernoullis ekvation
• Kanalströmning
• Rörströmning
• Vattenpotential