Elastiska linjens ekvation

Elastiska linjen för en balk under böjning

Elastiska linjens differentialekvation beskriver böjtröghetsmomentet för en balk vid böjning och är en differentialekvation av andra ordningen:

$\mathrm{M}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}=\mathrm{-}\mathrm{E}\mathrm{I}\frac{d^{2}w(x)}{d{x}^2}$

där

$M$ är böjmomentet,

$E$ är elasticitetsmodulen,

$I$ är balktvärsnittets böjtröghetsmoment och

$\frac{d^{2}w}{d{x}^2}$ är utböjningens andraderivata.

Produkten $EI$ kallas balkens böjstyvhet.

Elastiska linjen är den kurva balkens axel (geometriska orten för tvärsnittsytornas tyngdpunkter) bildar vid balkens deformation. Linjen är en plan kontinuerlig kurva som ligger i böjningsplanet (det plan där spänning/tryck-krafterna orsakade av böjningen är noll).

Tillämpningar

Elastiska linjens ekvation används för att bestämma balkars böjning respektive lutningsvinklar:

$w(x),\frac{dw}{dx}$

Elastiska linjens ekvation kan kombineras med andra ekvationer eller samband, exempelvis

$\mathrm{T}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}=\frac{d}{dx}\left(\mathrm{-}\mathrm{E}\mathrm{I}\frac{d^{2}w(x)}{d{x}^2}\right)$

där $T$ är tvärkraften.

$\mathrm{q}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}=\frac{d^2}{d{x}^2}\left(\mathrm{E}\mathrm{I}\frac{d^{2}w(x)}{d{x}^2}\right)$

där $q$ är belastningsintensiteten (punktbelastningen) som vid utbredd last beror av lasten per längdenhet $Q/L$. Vanligt är att $q$ kan skrivas $q=-Q/L$