Dickmans funktion

Inom analytisk talteori är Dickmans funktion eller Dickman–de Bruijns funktion ρ en speciell funktion som används till att uppskatta antalet släta tal mindre än en given storhet. Den introducerades av Karl Dickman i hans enda matematiska publikation och studerades vidare av Nicolaas Govert de Bruijn.^[1]^[2]^[3]

Definition

Dickman-de Bruijns funktion $ρ (u)$ är en kontinuerlig funktion som satisfierar differentialekvationen

u ρ^{'} (u) + ρ (u - 1) = 0

med villkoret $ρ (u) = 1$ för 0 ≤ u ≤ 1. Dickman bevisade att då $a$ är fixerat är

Ψ (x, x^{1 / a}) \sim x ρ (a)

där $Ψ (x, y)$ är antalet y-glatta tal inte större än x.

V. Ramaswami bevisade senare att $Ψ (x, x^{1 / a})$ är asymptotiskt lika med $x ρ (a)$ med felterm

Ψ (x, x^{1 / a}) = x ρ (a) + O (x / \log x) .

^[4]