Cartans kriterium

Inom matematiken är Cartans kriterium kriterium för en Liealgebra i karakteristik 0 att vara lösbar, av vilket ett liknande kriterium för en Liealgebra att vara halvenkel. Den baserar sig på Killingformer, symmetriska bilinjära former över $𝔤$ definierade enligt formeln

K (u, v) = tr (ad (u) ad (v)),

där tr betecknar spåret av en linjär operator. Kriteriet introducerades av Mall:Harvs.

Cartans kriterium för lösbarhet

Cartans kriterium för lösbarhet lyder:

En Lie-delalgebra $𝔤$ av endomorfier av ett ändligtdimensionellt vektorrum över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om $T r (a b) = 0$ då $a \in 𝔤, b \in [𝔤, 𝔤] .$

Att $T r (a b) = 0$ i det lösbara fallet följer moedelbart ur Lie–Kolchins sats som säger att lösbara Liealgebror i karakteristik 0 kan skrivas i övre triangulär form.

Genom att använda Cartans kriterium till den adjungta representationen får man:

En ändligtdimensionell Liealgebra $𝔤$ över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om $K (𝔤, [𝔤, 𝔤]) = 0$ (där K är Killingformen).

Se även

Modulär Liealgebra

Källor

Cartans kriterium