Capellis identitet

Inom matematiken är Capellis identitet, uppkallad efter Mall:Harvs, en analogi av formeln det(AB) = det(A) det(B) för vissa matriser med icke-kommuterande element relaterad till representationsteorin för Liealgebran ${𝔤 𝔩}_{n}$ . Den kan användas till att relatera en invariant ƒ till invarianten Ωƒ där Ω betecknar Cayleys Ω-process.

Satsen

Anta att x_ij för i,j = 1,...,n är kommuterande variabler. Beteckna med E_ij polariseringsoperatorn

E_{i j} = \sum_{a = 1}^{n} x_{i a} \frac{\partial}{\partial x_{j a}} .

Capellis identitet säger att följande differentialoperatorer, uttryckta som determinanter, är identiska:

| \begin{matrix} E_{11} + n - 1 & \dots & E_{1, n - 1} & E_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ E_{n - 1, 1} & \dots & E_{n - 1, n - 1} + 1 & E_{n - 1, n} \\ E_{n 1} & \dots & E_{n, n - 1} & E_{n n} + 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} x_{11} & \dots & x_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & \dots & x_{n n} \end{matrix} | | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \dots & \frac{\partial}{\partial x_{1 n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n 1}} & \dots & \frac{\partial}{\partial x_{n n}} \end{matrix} | .

Källor

Mall:Enwp

Capellis identitet

Satsen

Källor

Navigeringsmeny

Sök