Betingad konvergens

I matematiken sägs en serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ vara betingat konvergent om den är konvergent, det vill säga gränsvärdet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n{a}_i$ existerar, men att serien inte är absolutkonvergent, det vill säga att $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n|a_i|$ inte existerar.Mall:Rp

Exempel

Serien $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}$ är betingat konvergent.

Mer allmänt säger Leibniz kriterium att om $a_i$ är en strängt avtagande följd av positiva reella tal, som konvergerar mot noll, så är serien $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_i$ konvergent. En sådan serie är emellertid i allmänhet inte absolutkonvergent.

Riemanns omordningssats

En grundläggande sats i matematisk analys säger att gränsvärdet för en absolutkonvergent serie inte ändras om man ändrar ordningen på termerna i serien. För betingat konvergenta serier är situationen den motsatta:

Sats:

Låt $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ vara betingat konvergent, och låt $\alpha$ vara ett reellt tal eller $\pm \mathrm{\infty }$. Då finns en permutation $\sigma$ av de naturliga talen sådan att serien $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma i}$ konvergerar mot $\alpha$.

En betingat konvergent serie kan alltså genom en omordning av termerna fås att konvergera mot vilket reellt tal som helst och t.o.m. divergera. Beviset för detta går i korthet ut på att delsummorna till en betingat konvergent serie, bestående av enbart positiva respektive negativa termer, går mot $\mathrm{\infty }$ respektive $-\mathrm{\infty }$. Om man vill få summan att gå mot ett givet tal $\alpha$, som vi kan låta vara större än noll, ser man till att först ta med så många positiva termer att summan överskrider $\alpha$, därefter så många negativa att summan blir mindre än $\alpha$ och så vidare. Eftersom termerna går mot noll kommer summan att gå mot $\alpha$. Om man vill att serien ska divergera (mot $\mathrm{\infty }$) ser man till att de negativa termerna ligger så pass glest att delsummorna växer utan gräns. Motsvarande resonemang gäller för negativa $\alpha$ och $-\mathrm{\infty }$.Mall:Rp