Baselproblemet

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

konvergerar mot.

Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots$

För ekvationen $\sin z=0$ blir en rot $z=0$, och för övriga gäller enligt ovan:

$1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\cdots =0$

(1)

Med variabelbytet $w=z^2$ får vi följande ekvation:

$1-\frac{w}{3!}+\frac{w^2}{5!}-\frac{w^3}{7!}+\cdots =0$

(2)

De nollskilda lösningarna till $\sin z=0$ är $z=\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\dots$ vilket ger $w_1={\pi }^2,w_2=(2\pi {)}^2,w_3=(3\pi {)}^2,\dots$ som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om $x_1,x_2,\dots ,x_n$ är rötter till ekvationen $x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$ gäller:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

Tillsammans med ekvation 2 får vi då ($a_{n-1}=-\frac{1}{6}$ och $a_n=1$):

$\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{(2\pi {)}^2}+\frac{1}{(3\pi {)}^2}+\cdots =\frac{1}{6}$

(3)

Genom att multiplicera detta med ${\pi }^2$ följer att

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

Referenser

• Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. Mall:ISBN.