Bas (topologi)

En bas B för en topologi T på en mängd X är en samling av element i T sådan att varje element i T är en union av ett godtyckligt antal element i B. Man säger att basen genererar topologin.

Definition och egenskaper

Om X är en mängd så är en samling B av delmängder till X en bas för en topologi om

1. Unionen av alla element i B är X.
2. Om $G_1,G_2\in B$, så ska det, för alla $p\in G_1\cap G_2$, finnas $G_3\in B$ så att $p\in G_3$ och $G_3\subseteq G_1\cap G_2$.

Om en samling av delmängder inte uppfyller båda villkoren så är den inte en bas för någon topologi på X (den är dock en underbas). Om en samling av delmängder är en bas så definierar den en unik topologi på X. Denna topologi kallas toppologin genererad av B. Baser är vanliga vid konstruktionen av topologier, exempelvis är den metriska topologin vanligtvis genererad via en bas.

Två baser sägs vara ekvivalenta baser om de definierar samma topologi. Två baser $B_1$ och $B_2$ är ekvivalenta om och endast om det för varje p i varje $G_1\in B_1$ finns ett $G_2\in B_2$ så att $p\in B_2\subseteq B_1$, och vice versa.

Exempel

Mängden $M=\{N_{\epsilon }(\overline{x}):\epsilon \ge 0,\overline{x}\in {ℝ}^2\}$ bildar en bas för ${ℝ}^2$. Här är

$N_{\epsilon }(\overline{x})=\{\overline{y}\in {ℝ}^2:|\overline{x}-\overline{y}|\le \epsilon \}$

där $|\cdot |$ är den euklidiska normen.

Referenser

• Mall:Bokref