Barnesintegral

Inom matematiken är en Barnesintegral eller Mellin–Barnesintegral en kurvintegral som innehåller produkter av gammafunktioner. De introducerades av Mall:Harvs. De är nära relaterade till generaliserade hypergeometriska serier.

Integralen tas vanligen längs en kurva som är en deformering av imaginära axeln, går runt polerna av faktorerna av formen Γ(a + s) och till höger om polerna av Γ(a − s).

Hypergeometriska serier

Hypergeometriska funktionen ges av Barnesintegralen Mall:Harv

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(c+s)}(-z{)}^{s}ds.$

Barnes lemmas

Barnes första lemma Mall:Harv säger att

$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(c-s)\mathrm{\Gamma }(d-s)ds=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+c)\mathrm{\Gamma }(a+d)\mathrm{\Gamma }(b+c)\mathrm{\Gamma }(b+d)}{\mathrm{\Gamma }(a+b+c+d)}.$

Detta är en analogi av Gauss ₂F₁-formel och samtidigt en utvidgning av Eulers betaintegral. Integralen ovan kallas ibland för Barnes betaintegral.

Barnes andra lemma Mall:Harv säger att

$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(c+s)\mathrm{\Gamma }(1-d-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(e+s)}ds$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(1-d+a)\mathrm{\Gamma }(1-d+b)\mathrm{\Gamma }(1-d+c)}{\mathrm{\Gamma }(e-a)\mathrm{\Gamma }(e-b)\mathrm{\Gamma }(e-c)}$

där e = a + b + c − d + 1. Detta är en analogi av Saalschützs formel.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref