Banachs fixpunktssats

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen, som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach, som formulerade den 1922.

Banachs fixpunktssats

Antag att $X$ är ett icke-tomt metriskt rum som är fullständigt, och att $T:X\to X$ är en kontraktionsavbildning. $T$ har i så fall en unik fixpunkt. Det existerar således exakt ett element $x\in X$ som uppfyller $T(x)=x$.

Bevis

Välj ett godtyckligt $x_0\in X$ och konstruera sedan följden $(x_n)$ genom:

$x_1=T(x_0)$

$x_2=T(x_1)=T^2(x_0)$

$x_n=T(x_{n-1})=T^n(x_0)$

Då $T$ är en kontraktionsavbildning fås att:

$d(x_{n+1},x_n)=d(T(x_n),T(x_{n-1}))\le ad(x_n,x_{n-1})=ad(T(x_{n-1}),T(x_{n-2}))\le ...\le a^{m}d(x_0,x_1)$

För godtyckliga naturliga tal $m$ och $n$ med $m<n$ får vi nu, genom triangelolikheten och att $a<1$, att:

$d(x_m,x_n)\le d(x_m,x_{m+1})+d(x_{m+1},x_{m+2})+...+d(x_{n-1},x_n)\le (a^m+a^{m+1}+...+a^{n-1})d(x_0,x_1)=a^m\frac{1-a^{n-m}}{1-a}d(x_0,x_1)$

$d(x_m,x_n)\le a^m\frac{1-a^{n-m}}{1-a}d(x_0,x_1)\le \frac{a^m}{1-a}d(x_0,x_1)$

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom $d(x_0,x_1)$ är fixt och $a^m\to 0$ när $m\to \mathrm{\infty }$. Detta ger att följden $(x_n)$ är en Cauchyföljd och då $X$ är fullständigt finns det ett gränsvärde $x$ så att $x_n\to x$.

$x$ är i själva verket fixpunkten för $T$, då

$d(x,T(x))\le d(x,x_m)+d(x_m,T(x))=d(x,x_m)+d(T(x_{m-1}),T(x))\le d(x,x_m)+ad(x_{m-1},x)$

eftersom $d(x,x_m)$ och $d(x_{m-1},x)$ kan göras godtyckligt litet för stora $m$ ($x_m$ går mot $x$ ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för $T$ kallad $y$, då vi får:

$0\le d(x,y)=d(T(x),T(y))\le ad(x,y).$

Men $a<1$ ger oss att $d(x,y)=0$, det vill säga $x=y$.

Tillämpningar

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och uniciteten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref