Banach-Steinhaus sats

Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus sats

• Låt $X$ och $Y$ vara två normerade vektorrum och $\{T_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ en familj av begränsade linjära operatorer $T_{\alpha }:X⟶Y.$ Denna familj besitter följande två egenskaper:
  • Operatornormerna $\{\Vert T_{\alpha }\Vert {\}}_{\alpha \in A}$ är begränsade om vektornormerna $\{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert {\}}_{\alpha \in A}$ är begränsade, för varje punkt $x$ i en icke-mager delmängd av rummet $X$.
  • Operatornormerna $\{\Vert T_{\alpha }\Vert {\}}_{\alpha \in A}$ är begränsade om vektornormerna $\{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert {\}}_{\alpha \in A}$ är begränsade, för varje punkt $x$ i Banachrummet $X$.

Användning av Banach-Steinhaus sats

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om $X$ är ett Banachrum och $F_n$ är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum $Y$ så gäller att

$R=\{x\in X:\underset{T\in F_n}{\sup }\Vert T(x)\Vert =\mathrm{\infty },\text{for all}n\}$ är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje $x\in 𝕋$ gäller att mängden av funktioner i $C(𝕋)$ vars Fourierserie divergerar i x är tät i $C(𝕋)$.

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus sats

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.